Questão de Estatística — Amostragem — CESPE / CEBRASPE 2023

Valor esperado do desvio padrão amostral

Gabarito: ERRADO. O valor esperado de $S$ (desvio padrão amostral) não é igual ao desvio padrão populacional $\sigma = 2$; na verdade, $E(S) < \sigma$, pois $S$ é um estimador viesado de $\sigma$ (apesar de $S^2$ ser não viesado para $\sigma^2$). A raiz quadrada de um estimador não viesado não preserva a não viés.

A questão explora uma confusão clássica entre variância amostral e desvio padrão amostral. Vamos destrinchar:

• $S^2$ é não viesado para $\sigma^2$: $E(S^2) = \sigma^2$. Isso é um resultado fundamental da estatística inferencial.

• $S$ é viesado para $\sigma$: $E(S) \neq \sigma$. Pela desigualdade de Jensen, como a raiz quadrada é uma função côncava, $E(S) \leq \sqrt{E(S^2)} = \sigma$. Na prática, $E(S) < \sigma$ (a menos que a variância seja zero).

Portanto, a afirmação "O valor esperado de S é igual a 2" é falsa, pois $E(S) < 2$.

Alternativa E — ✅ Correta (gabarito)

A alternativa E (Errado) é a correta, pois a afirmação do enunciado é falsa. O valor esperado de $S$ não é igual a 2; ele é menor que 2. Isso decorre do fato de $S$ ser um estimador viesado de $\sigma$, e a viés é negativo (subestima o parâmetro).

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C (Certo) é incorreta, pois afirma que $E(S) = 2$, o que não é verdade. O erro está em confundir o desvio padrão amostral com a variância amostral: enquanto $E(S^2) = \sigma^2 = 4$, o valor esperado de $S$ é menor que 2. A banca explora exatamente essa confusão.

Gabarito: ERRADO