Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce165671

Equação do 2º grau aplicada a um problema contextualizado

Gabarito: letra D. Substituindo $k = 8$ e $v = 2$ na expressão $v = k \cdot p \cdot (1-p)$ , obtemos $2 = 8p(1-p)$ , que simplifica para $4p^2 - 4p + 1 = 0$ , cuja única solução é $p = 0{,}5$ , ou seja, 50%. A resolução exige apenas a substituição direta dos valores e a solução de uma equação quadrática — não há pegadinha conceitual, apenas atenção à álgebra.

A expressão dada é uma função quadrática em $p$ (pois $p(1-p) = p - p^2$ ), o que significa que, para um dado $k$ , existem em geral dois valores de $p$ que produzem a mesma velocidade $v$ — exceto no vértice, onde há apenas um. Aqui, o discriminante é zero, então há uma única solução. Vamos ao cálculo:

2 = 8p(1-p)

Dividindo ambos os lados por 2:

1 = 4p(1-p)

Expandindo:

1 = 4p - 4p^2

Reorganizando:

4p^2 - 4p + 1 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara com $a=4$ , $b=-4$ , $c=1$ :

\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0

p = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = 0{,}5

Portanto, $p = 0{,}5 = 50\%$ .

Alternativa A — ❌ Incorreta

10% ( $p = 0{,}1$ ). Substituindo na equação original: $8 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}72$ , que não é igual a 2. Esse valor não tem relação com a equação dada — é apenas um distrator numérico.

Alternativa B — ❌ Incorreta

90% ( $p = 0{,}9$ ). Note que $p(1-p)$ é simétrico: $0{,}9 \cdot 0{,}1 = 0{,}09$ , o mesmo que $0{,}1 \cdot 0{,}9$ . Portanto, $8 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1 = 0{,}72$ , também não satisfaz a equação. A banca explora a simetria da função para gerar pares de distratores (10% e 90%), mas ambos estão errados.

Alternativa C — ❌ Incorreta

25% ( $p = 0{,}25$ ). Substituindo: $8 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75 = 1{,}5$ , que não é igual a 2. Esse valor é a solução de $8p(1-p) = 1{,}5$ , não da equação dada.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

50% ( $p = 0{,}5$ ). Substituindo: $8 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 2$ , exatamente o valor de $v$ fornecido. A equação tem discriminante nulo, então essa é a única solução real.

Alternativa E — ❌ Incorreta

75% ( $p = 0{,}75$ ). Substituindo: $8 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25 = 1{,}5$ , o mesmo resultado de 25% devido à simetria. Novamente, não satisfaz a equação.

PEGA ESSA DICA!

Em questões com expressões do tipo $p(1-p)$ , lembre-se de que $p$ e $1-p$ são simétricos: se $p$ é solução, $1-p$ também é. Aqui, como o discriminante é zero, a solução é única e igual a $0{,}5$ . Para conferir rapidamente, teste os valores nas alternativas: apenas $p=0{,}5$ produz $v=2$ .

Gabarito: letra D