GabaritoA — (P → Q) ↔ (~P ˅ Q)
Gabarito: letra A. A proposição (P → Q) ↔ (~P ˅ Q) é uma tautologia porque a condicional "P → Q" é logicamente equivalente a "~P ∨ Q"; a bicondicional entre proposições equivalentes é sempre verdadeira.
p | q | p→q | ~p∨q | (p→q) ↔ (~p∨q) |
|---|---|---|---|---|
V | V | V | V | V |
V | F | F | F | V |
F | V | V | V | V |
F | F | V | V | V |
A bicondicional entre P→Q e ~P∨Q é uma equivalência lógica fundamental (a condicional equivale à disjunção negando o antecedente). Como ambas as expressões têm o mesmo valor em todas as linhas, o resultado da bicondicional é sempre verdadeiro, caracterizando uma tautologia.
~(P ˅ Q) ↔ ~P ˅ ~Q. A Lei de De Morgan estabelece que ~(P ∨ Q) ≡ ~P ∧ ~Q, e não ~P ∨ ~Q. Assim, os lados não são equivalentes, e a bicondicional é falsa para algumas combinações (ex: P=F, Q=F → esquerda=V, direita=F).
(P ˅ Q) ˅ (R ˄ S) ↔ P ˄ Q ˄ R ˄ S. O lado esquerdo é uma disjunção, verdadeiro se qualquer uma das parcelas for verdadeira; o lado direito é uma conjunção, verdadeiro apenas se todas forem verdadeiras. Não há equivalência, portanto não é tautologia.
(P ˄ Q) ˄ R ↔ (P ˄ Q) ˅ (P ˄ R). O lado esquerdo é a conjunção das três proposições; o lado direito é a disjunção de duas conjunções. Contraexemplo: P=V, Q=V, R=F → esquerda=F, direita=V → bicondicional=F.
(P ˅ Q) ˅ R ↔ ((P ˄ Q) → R). Contraexemplo: P=V, Q=V, R=F → esquerda=V, direita=F → bicondicional=F. Logo, não é tautologia.
Gabarito: letra A.
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