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Questão de Matemática — Álgebra Linear — CESPE / CEBRASPE 2023

MatemáticaÁlgebra Linear
Código
ce166123
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
Petrobras
Ano
2023
Nível
Médio
Considerando uma matriz A ₂x₃ , uma matriz B ₃x₃e uma matriz C ₃x₂, julgue o item a seguir.É possível calcular o produto A x B, mas não o produto C x A.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Multiplicação de matrizes: condição de existência

Gabarito: letra E (ERRADO). A afirmação de que é possível calcular A×BA \times B, mas não C×AC \times A, está incorreta porque ambos os produtos são possíveis: A2×3×B3×3A_{2\times3} \times B_{3\times3} é possível (colunas de A = 3 = linhas de B) e C3×2×A2×3C_{3\times2} \times A_{2\times3} também é possível (colunas de C = 2 = linhas de A). A regra é: o produto M×NM \times N existe se, e somente se, o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda.

A multiplicação de matrizes é uma operação que exige uma condição de compatibilidade entre as dimensões das matrizes envolvidas. Diferentemente da adição, que exige que as matrizes tenham exatamente as mesmas dimensões, a multiplicação permite matrizes de tamanhos diferentes, desde que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. Essa condição é fundamental e é o que a banca explora nesta questão.

Vamos analisar cada produto:

  • Produto A×BA \times B: AA tem dimensão 2×32 \times 3 (2 linhas, 3 colunas) e BB tem dimensão 3×33 \times 3 (3 linhas, 3 colunas). O número de colunas de AA é 3, e o número de linhas de BB é 3. Como são iguais, o produto é possível. A matriz resultante terá dimensão 2×32 \times 3 (linhas de A × colunas de B).

  • Produto C×AC \times A: CC tem dimensão 3×23 \times 2 (3 linhas, 2 colunas) e AA tem dimensão 2×32 \times 3 (2 linhas, 3 colunas). O número de colunas de CC é 2, e o número de linhas de AA é 2. Como são iguais, o produto também é possível. A matriz resultante terá dimensão 3×33 \times 3 (linhas de C × colunas de A).

Portanto, a afirmação de que não é possível calcular C×AC \times A é falsa. A banca tenta induzir o candidato a pensar que, por serem matrizes de dimensões diferentes, o produto não seria possível, mas a regra é exatamente a compatibilidade entre colunas da primeira e linhas da segunda.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a condição de existência do produto e a igualdade de dimensões. Muitos candidatos acham que só é possível multiplicar matrizes de mesma ordem, mas a regra é outra: o que importa é o número de colunas da primeira ser igual ao número de linhas da segunda. Aqui, C3×2C_{3\times2} e A2×3A_{2\times3} têm dimensões diferentes, mas o produto é perfeitamente possível. Fique atento: a condição é sempre essa, e não a igualdade de ordens.

Produto

Dimensão da 1ª matriz

Dimensão da 2ª matriz

Colunas da 1ª = Linhas da 2ª?

Produto possível?

A × B

2 × 3

3 × 3

3 = 3 (sim)

Sim

C × A

3 × 2

2 × 3

2 = 2 (sim)

Sim

1Condição de existência
Colunas da 1ª = linhas da 2ª
Dimensões podem diferir
2A₂ₓ₃ × B₃ₓ₃
3 colunas = 3 linhas
Possível → 2×3
3C₃ₓ₂ × A₂ₓ₃
2 colunas = 2 linhas
Possível → 3×3
Produto de matrizes
LEVELsoulevel.com.br
Produto de matrizes: Condição de existência (Colunas da 1ª = linhas da 2ª, Dimensões podem diferir); A₂ₓ₃ × B₃ₓ₃ (3 colunas = 3 linhas, Possível → 2×3); C₃ₓ₂ × A₂ₓ₃ (2 colunas = 2 linhas, Possível → 3×3)

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que é possível calcular A×BA \times B, mas não C×AC \times A. A primeira parte está correta, mas a segunda é falsa, pois C×AC \times A também é possível. O erro está em afirmar que o produto C×AC \times A não pode ser calculado, quando na verdade a condição de existência é satisfeita (colunas de C = 2 = linhas de A).

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa está correta ao afirmar que o item é ERRADO, pois a proposição original é falsa. Ambos os produtos são possíveis, conforme demonstrado. A banca pede para julgar a afirmação, e a afirmação está incorreta, logo a resposta é ERRADO.

Gabarito: letra E

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