Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce166126

Função exponencial aplicada: crescimento da demanda

Gabarito: letra E (ERRADO). A afirmação está incorreta porque, para t = 10, a quantidade demandada é $C(10) = 5 \cdot e^{0,5} = 5 \cdot e^{0,5}$ , e o dobro da quantidade inicial é $2 \cdot C(0) = 2 \cdot 5 = 10$ . Para que houvesse a duplicação, precisaríamos de $e^{0,5} = 2$ , o que é falso (pois $e^{0,5} \approx 1,6487$ ). O dado fornecido, $\ln(8/5) = 0,5$ , não sustenta a igualdade, pois $e^{0,5} = 8/5 = 1,6$ , e não 2.

A questão envolve uma função exponencial do tipo $C(t) = C_0 \cdot e^{kt}$ , que modela crescimento (ou decaimento) contínuo. Aqui, $C_0 = 5$ milhões de litros é a quantidade inicial (em t = 0), e $k = 0,05$ é a taxa de crescimento contínua por ano. Para saber se a demanda dobra em t = 10, precisamos comparar $C(10)$ com $2 \cdot C(0)$ .

Vamos calcular:

$C(0) = 5 \cdot e^{0} = 5 \cdot 1 = 5$ milhões de litros.
$C(10) = 5 \cdot e^{0,05 \cdot 10} = 5 \cdot e^{0,5}$ .

O dobro da quantidade inicial é $2 \cdot 5 = 10$ milhões de litros. Para que $C(10) = 10$ , precisaríamos de $e^{0,5} = 2$ . Mas o enunciado fornece $\ln(8/5) = 0,5$ , o que implica $e^{0,5} = 8/5 = 1,6$ . Portanto, $C(10) = 5 \cdot 1,6 = 8$ milhões de litros, que é menor que 10. Logo, a demanda não dobra; ela cresce apenas 60% em relação ao valor inicial.

A pegadinha está em confundir o dado $\ln(8/5) = 0,5$ com $\ln 2 = 0,5$ . Se o candidato assumir que $e^{0,5} = 2$ , concluiria erroneamente que a duplicação ocorre. Mas o logaritmo natural de 2 é aproximadamente 0,693, não 0,5. O valor 0,5 corresponde a $\ln(\sqrt{e})$ , e o dado do enunciado aponta para $e^{0,5} = 1,6$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer você acreditar que $e^{0,5} = 2$ , usando o dado $\ln(8/5) = 0,5$ como se fosse $\ln 2 = 0,5$ . Na verdade, $\ln 2 \approx 0,693$ , e $e^{0,5} \approx 1,6487$ . O valor 0,5 dado no enunciado corresponde a $\ln(8/5)$ , ou seja, $e^{0,5} = 1,6$ . Perceba a diferença: para dobrar, precisaríamos de $e^{0,5} = 2$ , o que não ocorre. Fique atento: sempre verifique se o logaritmo fornecido corresponde ao número que você precisa para a comparação.

t	C(t) = 5·e^(0,05t)	2·C(0)	Comparação (C(t) vs 2·C(0))
0	5	10	5 < 10
10	5·e^(0,5) = 5·1,6 = 8	10	8 < 10

Alternativa C — ❌ Incorreta (não é o gabarito)

A afirmativa de que a quantidade será o dobro da inicial está errada, como demonstrado. O cálculo correto mostra $C(10) = 8$ milhões, não 10. Portanto, esta alternativa não é a resposta.

Alternativa E — ✅ Correta (gabarito)

A afirmativa está errada, e por isso a alternativa E é a correta. O item é falso porque a demanda em t = 10 não atinge o dobro da inicial. O raciocínio: $C(10) = 5 \cdot e^{0,5} = 5 \cdot 1,6 = 8$ , enquanto o dobro seria 10. Logo, a proposição é incorreta.

Gabarito: letra E (ERRADO).

Questão de Matemática — Funções — CESPE / CEBRASPE 2023

Função exponencial aplicada: crescimento da demanda

Alternativa C — ❌ Incorreta (não é o gabarito)

Alternativa E — ✅ Correta (gabarito)