Questão de Matemática — Trigonometria — CESPE / CEBRASPE 2023

Funções trigonométricas: valor máximo de A(t)

Gabarito: ✅ CERTO. A função $A(t) = 3 - 2\cos\left(\frac{\pi t}{12}\right)$ atinge altura máxima de 5 metros, pois o cosseno tem valor mínimo $-1$, e $3 - 2(-1) = 5$. A análise se baseia na imagem da função cosseno, que é o intervalo $[-1, 1]$.

A questão cobra a aplicação direta do conceito de imagem das funções trigonométricas. O cosseno, para qualquer argumento real, assume valores apenas entre $-1$ e $1$, inclusive. Isso é uma propriedade fundamental: $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ para todo $x$ real.

Na função dada, o argumento é $\frac{\pi t}{12}$, que varia com $t$ no intervalo $0 \leq t \leq 24$. Quando $t$ percorre esse intervalo, o argumento percorre $0 \leq \frac{\pi t}{12} \leq 2\pi$, ou seja, uma volta completa no círculo trigonométrico. Portanto, o cosseno assume todos os valores entre $-1$ e $1$.

Para encontrar o valor máximo de $A(t)$, precisamos maximizar a expressão $3 - 2\cos\left(\frac{\pi t}{12}\right)$. Como o termo $-2\cos\left(\frac{\pi t}{12}\right)$ é subtraído, o valor máximo ocorre quando o cosseno é mínimo, ou seja, quando $\cos\left(\frac{\pi t}{12}\right) = -1$. Isso acontece, por exemplo, quando $\frac{\pi t}{12} = \pi$, o que dá $t = 12$ (dentro do intervalo).

Substituindo:

Portanto, a altura máxima do mar é de fato 5 metros, confirmando a afirmação do item.

✅ CERTO.