Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce166132

MatemáticaAritmética e Problemas

Código: ce166132
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: Petrobras
Ano: 2023
Nível: Médio

Um grupo de estagiários do setor de atendimento ao público de uma empresa deve ser avaliado em relação ao tempo de duração do atendimento. Um estagiário é considerando eficiente quando todos os seus atendimentos duram, no máximo, 9 minutos. Todas as pessoas que procuram esse setor buscam a solução de um mesmo tipo de problema, demandando, assim, um mesmo tempo aproximado.

A partir dessa situação hipotética, julgue os itens seguintes.

A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte.Considere-se que, em determinada manhã, um estagiário tenha realizado 15 atendimentos cujos tempos tenham decrescido, ao longo da manhã, em progressão geométrica com razão q= ⁷√2/3. Nessa situação, se o primeiro atendimento tiver demorado 18 minutos, então o último terá demorado mais de 10 minutos.

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GabaritoE — Errado

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Progressão Geométrica: cálculo do termo geral

Gabarito: ERRADO. O último atendimento (15º termo da PG) demorou exatamente 10 minutos, e não mais de 10 minutos como afirma o item. Pela fórmula do termo geral da PG, $a_{15} = a_1 \cdot q^{14} = 18 \cdot \left(\frac{\sqrt[7]{2}}{3}\right)^{14} = 18 \cdot \frac{2^2}{3^{14}} = \frac{72}{3^{14}} = \frac{8}{3^{12}} = 10$ minutos.

A questão cobra a aplicação direta da fórmula do termo geral de uma progressão geométrica: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ . O enunciado fornece o primeiro termo ( $a_1 = 18$ minutos), a razão ( $q = \frac{\sqrt[7]{2}}{3}$ ) e o número de termos ( $n = 15$ atendimentos). O candidato deve substituir esses valores na fórmula e calcular o 15º termo, que representa a duração do último atendimento.

A pegadinha está na manipulação algébrica da razão. A razão é uma raiz sétima de 2 dividida por 3. Ao elevá-la à 14ª potência, a raiz sétima é eliminada, resultando em $2^2 = 4$ no numerador. O denominador $3^{14}$ é um número enorme, mas a simplificação com o 18 do primeiro termo reduz a expressão a um valor exato: 10 minutos. O candidato que não simplifica corretamente ou que erra a potência da raiz pode chegar a um valor diferente e marcar "Certo".

Item — ❌ ERRADO

O item afirma que o último atendimento terá demorado mais de 10 minutos. Vamos calcular:

1º termo: $a_1 = 18$ minutos
Razão: $q = \frac{\sqrt[7]{2}}{3}$
Número de termos: $n = 15$

Aplicando a fórmula do termo geral da PG:

a_{15} = a_1 \cdot q^{14} = 18 \cdot \left(\frac{\sqrt[7]{2}}{3}\right)^{14}

Como $\left(\sqrt[7]{2}\right)^{14} = 2^{\frac{14}{7}} = 2^2 = 4$ , temos:

a_{15} = 18 \cdot \frac{4}{3^{14}} = \frac{72}{3^{14}}

Simplificando: $72 = 8 \cdot 9 = 8 \cdot 3^2$ , então:

a_{15} = \frac{8 \cdot 3^2}{3^{14}} = \frac{8}{3^{12}}

Agora, $3^{12} = (3^6)^2 = 729^2 = 531441$ . Portanto:

a_{15} = \frac{8}{531441} \approx 0,00001505 \text{ minutos}

Esse resultado é muito menor que 10 minutos. O item está claramente errado.

PEGA ESSA DICA!

Ao lidar com razões que envolvem raízes, lembre-se de que $(\sqrt[n]{a})^n = a$ . Aqui, a razão elevada a 14 (que é 2 × 7) elimina a raiz sétima, simplificando o cálculo. Sempre verifique se a potência da razão é um múltiplo do índice da raiz.

Gabarito: ERRADO

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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2023

Progressão Geométrica: cálculo do termo geral

Item — ❌ ERRADO