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Questão de Matemática — Geometria Espacial — CESPE / CEBRASPE 2023

MatemáticaGeometria Espacial
Código
ce166434
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TBG
Ano
2023
Nível
Médio
Julgue o próximo item, relacionado à geometria plana, analítica e espacial.Se o reservatório de um caminhão-tanque tem o formato de um cilindro circular reto com raio r = 2√π/π metros e comprimento c = 12 metros, então o volume do reservatório do caminhão é de 48√π metros cúbicos.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Geometria Espacial: volume do cilindro

Gabarito: letra E (ERRADO). O volume de um cilindro circular reto é dado por V=πr2hV = \pi r^2 h, onde rr é o raio da base e hh é a altura (ou comprimento, quando o cilindro está deitado). Substituindo r=2ππr = \frac{2\sqrt{\pi}}{\pi} m e h=12h = 12 m, obtemos V=π⋅(2ππ)2⋅12=48V = \pi \cdot \left(\frac{2\sqrt{\pi}}{\pi}\right)^2 \cdot 12 = 48 m³, e não 48π48\sqrt{\pi} m³ como afirma o item. O erro está na simplificação da expressão: o candidato que não simplifica corretamente as potências de π\pi acaba deixando a raiz quadrada indevidamente no resultado.

O volume de um cilindro é o produto da área da base circular pela altura. A área da base é Ab=πr2A_b = \pi r^2, e o volume é V=Ab⋅h=πr2hV = A_b \cdot h = \pi r^2 h. No caso de um caminhão-tanque, o cilindro está deitado, então o "comprimento" do tanque corresponde à altura do cilindro na fórmula. A pegadinha clássica da banca é apresentar o raio com uma expressão que contém π\pi no denominador, forçando o candidato a fazer a simplificação algébrica com cuidado. Quem simplifica errado — por exemplo, tratando (2ππ)2\left(\frac{2\sqrt{\pi}}{\pi}\right)^2 como 4ππ2=4π\frac{4\pi}{\pi^2} = \frac{4}{\pi} em vez de 4ππ2=4π\frac{4\pi}{\pi^2} = \frac{4}{\pi} — pode chegar a um resultado com π\sqrt{\pi} sobrando, que é exatamente o distrator montado pela banca.

Vamos ao cálculo passo a passo:

  1. Área da base: Ab=πr2=π⋅(2ππ)2A_b = \pi r^2 = \pi \cdot \left(\frac{2\sqrt{\pi}}{\pi}\right)^2

  2. Simplificando o quadrado: (2ππ)2=4⋅ππ2=4π\left(\frac{2\sqrt{\pi}}{\pi}\right)^2 = \frac{4 \cdot \pi}{\pi^2} = \frac{4}{\pi}

  3. Área da base: Ab=π⋅4π=4A_b = \pi \cdot \frac{4}{\pi} = 4 m²

  4. Volume: V=Ab⋅h=4⋅12=48V = A_b \cdot h = 4 \cdot 12 = 48 m³

O resultado correto é 4848 m³, um número inteiro, sem raiz quadrada. O item afirma 48π48\sqrt{\pi} m³, o que está incorreto. A raiz quadrada de π\pi aparece apenas no raio, mas é eliminada quando elevamos o raio ao quadrado na fórmula do volume.

NÃO CAIA NESSA!

A banca coloca o raio como 2ππ\frac{2\sqrt{\pi}}{\pi} para testar se você simplifica corretamente. O candidato apressado pode elevar ao quadrado e esquecer de cancelar o π\pi do numerador com o do denominador, deixando π\sqrt{\pi} no resultado final. Lembre-se: (2ππ)2=4ππ2=4π\left(\frac{2\sqrt{\pi}}{\pi}\right)^2 = \frac{4\pi}{\pi^2} = \frac{4}{\pi}, e o π\pi da fórmula do volume cancela com o π\pi do denominador, resultando em um número sem radical. 💪

  1. 1Área da base: πr²
  2. 2Elevar raio ao quadrado
  3. 3Simplificar potências de π
  4. 4Multiplicar pela altura
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Item — ❌ ERRADO

O item afirma que o volume é 48π48\sqrt{\pi} m³. O cálculo correto mostra que o volume é 4848 m³. O erro está na simplificação: ao elevar o raio ao quadrado, a raiz quadrada de π\pi é eliminada, e o π\pi da fórmula do volume cancela com o π\pi do denominador do raio. Portanto, o volume é um número inteiro, sem radical.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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