Questão de Matemática — Geometria Plana — CESPE / CEBRASPE 2023

Geometria Plana: Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Gabarito: ✅ CERTO. O maior caminho entre Patos e Araras, passando por Tatus, corresponde à soma dos catetos do triângulo retângulo ($30 + 30\sqrt{3}$ km), enquanto o caminho direto é a hipotenusa ($60$ km). A diferença entre eles é exatamente $30(\sqrt{3} - 1)$ km, confirmando a inferência.

Análise da Geometria

A figura apresenta um triângulo retângulo em Tatus, com um ângulo de $30^\circ$ em Araras e o cateto adjacente (Tatus-Araras) medindo $30\sqrt{3}$ km. Para encontrar as demais medidas, utilizamos as razões trigonométricas:

1. Cateto oposto (Patos-Tatus):

   $\tan(30^\circ) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} \implies \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\text{Patos-Tatus}}{30\sqrt{3}}$

   $\text{Patos-Tatus} = \frac{\sqrt{3}}{3} \times 30\sqrt{3} = 10 \times 3 = 30$ km.

1. Hipotenusa (Patos-Araras):

   $\cos(30^\circ) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{30\sqrt{3}}{\text{hipotenusa}}$

   $\text{hipotenusa} = \frac{30\sqrt{3} \times 2}{\sqrt{3}} = 60$ km.

Cálculo da Diferença

O "maior caminho" é a soma dos dois catetos (passando por Tatus): $30 + 30\sqrt{3}$ km. O "caminho direto" é a hipotenusa: $60$ km.

A diferença entre o maior caminho e o caminho direto é: $\Delta = (30 + 30\sqrt{3}) - 60 = 30\sqrt{3} - 30 = 30(\sqrt{3} - 1)$ km.

✅ CERTO.