Questão de Matemática — Geometria Plana — CESPE / CEBRASPE 2023

Geometria Analítica: identificação da cônica

Gabarito: ❌ ERRADO. A equação $x^2 - x + y^2 = 0$ não descreve uma parábola; ela representa uma circunferência (ou, mais precisamente, um ponto, após completar quadrados). As raízes $x=0$ e $x=1$ são os pontos onde a curva corta o eixo $x$, mas isso não torna a curva uma parábola — a presença simultânea de $x^2$ e $y^2$ com coeficientes iguais é a assinatura da circunferência.

A banca explora uma confusão clássica: o aluno vê os termos $x^2$ e $-x$, resolve a equação do 2º grau em $x$ (achando 0 e 1) e conclui que é uma parábola. Mas a equação dada é implícita em duas variáveis ($x$ e $y$), não uma função $y = f(x)$. Para identificar a cônica, precisamos analisar a forma geral $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$:

• Se $A = C$ e $B = 0$ → circunferência (ou ponto vazio).

• Se $A \neq C$ e $B = 0$ → elipse (se $A$ e $C$ têm o mesmo sinal) ou hipérbole (se sinais opostos).

• Se apenas um dos coeficientes $A$ ou $C$ for não nulo → parábola.

Na equação dada, $A = 1$ e $C = 1$ (coeficientes de $x^2$ e $y^2$), ambos iguais e positivos, com $B = 0$. Logo, é uma circunferência — não uma parábola.

Vamos completar quadrados para confirmar:

Essa é a equação de uma circunferência com centro $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ e raio $\frac{1}{2}$. Os pontos onde ela corta o eixo $x$ (fazendo $y=0$) são exatamente $x=0$ e $x=1$, mas isso é uma propriedade da circunferência, não uma característica que a transforma em parábola.

A pegadinha está em confundir raízes de uma equação com o tipo de cônica. As raízes $x=0$ e $x=1$ são as interseções com o eixo $x$, mas a curva é uma circunferência. Uma parábola teria equação do tipo $y = ax^2 + bx + c$ (função) ou $(y-y_0)^2 = 2p(x-x_0)$ (forma canônica), com apenas uma variável ao quadrado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a equação descreve uma parábola. Errado: a equação $x^2 - x + y^2 = 0$ é uma circunferência (centro $(1/2, 0)$, raio $1/2$). A presença de $x^2$ e $y^2$ com coeficientes iguais e mesmo sinal é a característica da circunferência, não da parábola.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A afirmação está errada, portanto o gabarito é E. A equação não descreve uma parábola, mas uma circunferência. As raízes $x=0$ e $x=1$ são apenas os pontos de interseção com o eixo $x$, não definem o tipo de cônica.

Gabarito: letra E