Questão de Matemática — Geometria Plana — CESPE / CEBRASPE 2023

Geometria Analítica: equação da reta por dois pontos

Gabarito: letra C (Certo). A reta que passa por A(1, −2) e B(3, 2) tem coeficiente angular $m = \frac{2 - (-2)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ e, substituindo o ponto A na forma $y = mx + b$, obtém-se $b = -4$, resultando em $y = 2x - 4$, que é equivalente a $2x - y = 4$. Portanto, a afirmação está correta.

A questão cobra a determinação da equação de uma reta a partir de dois pontos, um tópico clássico de geometria analítica. O caminho é sempre o mesmo: primeiro calcula-se o coeficiente angular (a inclinação da reta), depois usa-se um dos pontos para encontrar o coeficiente linear (o ponto onde a reta corta o eixo y). A equação reduzida $y = mx + b$ pode ser reescrita na forma geral $ax + by + c = 0$, que é a forma apresentada no enunciado.

A pegadinha aqui é sutil: o candidato pode calcular corretamente a equação $y = 2x - 4$, mas não perceber que $2x - y = 4$ é exatamente a mesma reta, apenas com os termos reorganizados. Vamos verificar passo a passo.

Verificação passo a passo

1. Coeficiente angular: $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - (-2)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$.

2. Equação reduzida: usando o ponto A(1, −2), temos $-2 = 2 \cdot 1 + b \Rightarrow b = -4$. Logo, $y = 2x - 4$.

3. Reorganização: $y = 2x - 4 \Rightarrow 2x - y = 4$. Exatamente a equação dada.

Outra forma de conferir é substituir os dois pontos na equação dada: para A(1, −2), $2(1) - (-2) = 2 + 2 = 4$; para B(3, 2), $2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$. Ambos satisfazem, confirmando que a reta é a mesma.

Gabarito: letra C (Certo).