Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce166438

Análise Combinatória: Princípio Fundamental da Contagem

Gabarito: Errado (E). O número de maneiras de colar 4 tipos diferentes de adesivos em 8 caminhões, podendo cada caminhão receber apenas um tipo, é $4^8 = 65.536$ , e não 70. O valor 70 corresponderia a uma combinação de 8 elementos tomados 4 a 4 ( $C_{8,4}$ ), o que não se aplica ao problema, pois aqui a ordem importa (cada caminhão é distinto) e há repetição de tipos.

A questão envolve o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), também chamado de princípio multiplicativo. Quando temos uma sequência de decisões independentes, o número total de possibilidades é o produto das possibilidades de cada etapa. No caso, temos 8 caminhões, e para cada um deles há 4 opções de adesivo. Como a escolha para um caminhão não interfere na escolha para outro, multiplicamos as possibilidades: $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^8$ .

O erro do item está em confundir o PFC com o conceito de combinação. A combinação $C_{n,p}$ é usada quando a ordem dos elementos não importa e não há repetição. No problema dos adesivos, a ordem importa (o caminhão 1 receber o adesivo A é diferente do caminhão 2 receber o adesivo A) e a repetição é permitida (vários caminhões podem receber o mesmo tipo de adesivo). Portanto, a fórmula correta é a de arranjo com repetição, que é exatamente o PFC: $AR_{n}^{p} = n^p$ .

Vamos ao cálculo:

Para o 1º caminhão: 4 opções.
Para o 2º caminhão: 4 opções.
...
Para o 8º caminhão: 4 opções.

Total: $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^8 = 65.536$ .

O valor 70, citado no enunciado, é o resultado de $C_{8,4} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = 70$ . Isso seria o número de maneiras de escolher 4 caminhões (dentre 8) para receber um adesivo, sem considerar qual adesivo cada um recebe e sem repetição — o que não é o caso.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta induzir o candidato a usar a fórmula de combinação, que resulta em 70. A palavra-chave é "cada caminhão puder receber apenas um único tipo de adesivo" — isso não significa que os tipos são distribuídos sem repetição. Como há 8 caminhões e apenas 4 tipos, necessariamente alguns tipos serão repetidos. A ordem importa porque os caminhões são distintos. Portanto, o raciocínio correto é o PFC: $4^8$ .

Distribuição de adesivos — só Caminhões: 8; só Tipos de adesivo: 4; Caminhões∩Tipos de adesivo: 4^8

Alternativa E — ✅ Correta (gabarito)

O item está errado. O número de maneiras distintas é $4^8 = 65.536$ , e não 70. A resolução correta usa o Princípio Fundamental da Contagem, pois cada um dos 8 caminhões tem 4 opções independentes de adesivo.

Gabarito: letra E (Errado).

Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2023

Análise Combinatória: Princípio Fundamental da Contagem

Alternativa E — ✅ Correta (gabarito)