Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2023

Análise Combinatória: Permutação com elementos agrupados

Gabarito: letra B. O número de maneiras de organizar os 8 livros mantendo os 3 de direito constitucional sempre juntos é 4.320, pois tratamos o bloco dos 3 livros de constitucional como um único "super-livro", permutamos esse bloco com os demais 5 livros (total de 6 elementos → 6! = 720) e multiplicamos pela permutação interna dos 3 livros do bloco (3! = 6), resultando em 720 × 6 = 4.320.

A questão envolve permutação com elementos que devem permanecer juntos. O raciocínio central é: quando um grupo de elementos precisa ficar junto, agrupamos esses elementos como se fossem um único bloco. Aqui, os 3 livros de direito constitucional formam um bloco. Esse bloco, junto com os 2 de tributário e os 3 de trabalhista, totaliza 6 "unidades" a serem permutadas na estante: o bloco de constitucional, os 2 de tributário e os 3 de trabalhista. O número de permutações dessas 6 unidades é $6! = 720$. Porém, dentro do bloco, os 3 livros de constitucional podem ser organizados entre si de $3! = 6$ maneiras distintas. Pelo princípio multiplicativo, multiplicamos: $6! \times 3! = 720 \times 6 = 4.320$.

A pegadinha clássica é esquecer de multiplicar pela permutação interna do bloco, obtendo 720 (letra E), ou permutar todos os 8 livros sem restrição, obtendo 40.320 (letra A). A banca explora exatamente essa omissão.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 40.320 corresponde a $8!$, ou seja, a permutação de todos os 8 livros sem nenhuma restrição. Esse cálculo ignora completamente a condição de que os livros de direito constitucional devem ficar juntos. É o total de maneiras de organizar os livros se não houvesse a exigência do enunciado.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como explicado, tratamos os 3 livros de constitucional como um bloco único. Temos então 6 elementos para permutar (bloco + 2 tributário + 3 trabalhista), o que dá $6! = 720$. Internamente, os 3 livros do bloco podem ser ordenados de $3! = 6$ formas. Pelo princípio multiplicativo: $720 \times 6 = 4.320$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 18 não corresponde a nenhuma interpretação direta do problema. Ele poderia surgir de um cálculo equivocado, como $3! \times 3! = 6 \times 6 = 36$ (dividido por 2?) ou de uma confusão entre os grupos. Não há fundamento combinatório para esse número.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 72 poderia ser obtido por $3! \times 3! \times 2! = 6 \times 6 \times 2 = 72$, mas isso consideraria apenas as permutações internas dos grupos, esquecendo de permutar os próprios grupos entre si. O correto é permutar os 6 blocos/unidades, não apenas os elementos dentro de cada grupo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 720 corresponde a $6!$, que é a permutação dos 6 blocos (considerando o bloco de constitucional como um só). Porém, esquece de multiplicar pela permutação interna dos 3 livros de constitucional ($3! = 6$). É a pegadinha mais comum: o candidato agrupa corretamente, mas não permuta os elementos dentro do bloco.

Gabarito: letra B