Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce166530

Análise Combinatória: princípio multiplicativo e arranjo com repetição

Gabarito: letra C (CERTO). Para pintar 7 salas, cada uma com uma de 3 cores, o número de maneiras distintas é dado pelo princípio multiplicativo: $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^7 = 2187$ . Como 2187 ≠ 36, a assertiva está errada — e, portanto, o gabarito é Certo (a afirmativa é falsa).

A questão cobra o princípio fundamental da contagem (princípio multiplicativo), que é a base da análise combinatória. Quando temos uma sequência de escolhas independentes, o total de possibilidades é o produto das possibilidades de cada etapa. Aqui, cada uma das 7 salas pode receber qualquer uma das 3 cores, sem restrição — a escolha da cor de uma sala não interfere na das outras. Por isso, multiplicamos 3 por ele mesmo 7 vezes.

Esse é exatamente o caso do arranjo com repetição (ou arranjo completo), cuja fórmula é $AR_{n}^{r} = n^{r}$ , em que $n$ é o número de opções (3 cores) e $r$ é o número de posições (7 salas). A ordem importa? Sim — pintar a sala 1 de vermelho e a sala 2 de azul é diferente de pintar a sala 1 de azul e a sala 2 de vermelho. E pode haver repetição? Sim — várias salas podem ter a mesma cor. Essas duas características (ordem importa + repetição permitida) indicam exatamente o arranjo com repetição.

A pegadinha da banca está no número 36. O candidato apressado pode pensar em $3 \times 12$ ou em $6 \times 6$ , mas 36 não corresponde a nenhuma operação natural com 3 e 7. O correto é $3^7 = 2187$ . Perceba a diferença: se a questão pedisse o número de maneiras de escolher 3 cores para 7 salas sem considerar a ordem (o que não é o caso), usaríamos combinação — mas aqui cada sala é uma posição distinta, então é arranjo com repetição.

Etapa (sala)	Opções de cor	Total acumulado (3^etapa)
1ª sala	3	3
2ª sala	3	9
3ª sala	3	27
4ª sala	3	81
5ª sala	3	243
6ª sala	3	729
7ª sala	3	2187

Alternativa C — ✅ CERTO (assertiva falsa)

A assertiva afirma que há 36 maneiras distintas de pintar as 7 salas com 3 cores. Isso está errado. O cálculo correto é:

3^7 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 2187

Portanto, a afirmativa é falsa, e como a questão pede para julgar a assertiva, o gabarito é Certo (a assertiva está errada).

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer você aceitar 36 como resposta, talvez por pensar em $3 \times 12$ ou $6 \times 6$ , mas o correto é aplicar o princípio multiplicativo: cada sala tem 3 opções independentes, então o total é $3^7 = 2187$ . Não confunda com combinação (onde a ordem não importa) — aqui cada sala é uma posição distinta, então a ordem importa e a repetição é permitida, caracterizando arranjo com repetição.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de contagem, identifique: (1) a ordem importa? (2) pode repetir? Se sim para ambos, use $n^r$ (arranjo com repetição). Se a ordem importa e não pode repetir, use arranjo simples. Se a ordem não importa, use combinação. Treine com exemplos: pintar salas, formar placas, criar senhas — todos seguem o mesmo raciocínio.

Gabarito: letra C (CERTO) — a assertiva está errada, pois o número correto de maneiras é 2187, e não 36.

Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2023

Análise Combinatória: princípio multiplicativo e arranjo com repetição

Alternativa C — ✅ CERTO (assertiva falsa)