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Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024

EstatísticaCálculo de Probabilidades
Código
ce166889
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANAC
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Especialista em Regulação de Aviação Civil - Área 3
Uma função de densidade tem a forma f(x) = c ∙ exp (− |x|/8), em que c representa a constante de normalização e x pode assumir qualquer valor real. Com base nessa função, julgue o próximo item.c = 0,0625.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Constante de normalização de uma função densidade de probabilidade

Gabarito: letra C — CERTO. A constante de normalização cc é determinada pela condição de que a integral da função densidade sobre todo o domínio seja igual a 1. Para f(x)=c⋅e−∣x∣/8f(x) = c \cdot e^{-|x|/8}, a integral de e−∣x∣/8e^{-|x|/8} de −∞-\infty a +∞+\infty é 1616, portanto c=1/16=0,0625c = 1/16 = 0,0625. A afirmação está correta.

A questão cobra o conceito de constante de normalização de uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). Para que f(x)f(x) seja uma f.d.p. válida, ela deve ser não negativa e a área total sob a curva deve ser igual a 1. Matematicamente:

∫−∞+∞f(x) dx=1\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1

No caso, f(x)=c⋅e−∣x∣/8f(x) = c \cdot e^{-|x|/8}. Como a função e−∣x∣/8e^{-|x|/8} é par (simétrica em relação ao eixo y), podemos calcular a integral de 00 a ∞\infty e multiplicar por 2:

∫−∞+∞e−∣x∣/8 dx=2∫0+∞e−x/8 dx\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|/8} \, dx = 2 \int_{0}^{+\infty} e^{-x/8} \, dx

A integral de 00 a ∞\infty de e−x/8e^{-x/8} é uma integral exponencial clássica:

∫0+∞e−x/8 dx=[−8e−x/8]0+∞=0−(−8)=8\int_{0}^{+\infty} e^{-x/8} \, dx = \left[ -8 e^{-x/8} \right]_{0}^{+\infty} = 0 - (-8) = 8

Portanto:

∫−∞+∞e−∣x∣/8 dx=2×8=16\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|/8} \, dx = 2 \times 8 = 16

Assim, para que a área total seja 1:

c×16=1⇒c=116=0,0625c \times 16 = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{16} = 0,0625

A afirmação do item é exatamente esse valor. A pegadinha da banca está em o candidato esquecer de multiplicar por 2 por causa do módulo, obtendo c=1/8=0,125c = 1/8 = 0,125, ou errar o cálculo da integral exponencial.

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

O valor de cc é 1/16=0,06251/16 = 0,0625. A resolução passo a passo:

  1. Condição de normalização: ∫−∞+∞c⋅e−∣x∣/8 dx=1\int_{-\infty}^{+\infty} c \cdot e^{-|x|/8} \, dx = 1.

  2. Como a função é par, ∫−∞+∞e−∣x∣/8 dx=2∫0+∞e−x/8 dx\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|/8} \, dx = 2 \int_{0}^{+\infty} e^{-x/8} \, dx.

  3. ∫0+∞e−x/8 dx=8\int_{0}^{+\infty} e^{-x/8} \, dx = 8.

  4. Logo, c⋅16=1⇒c=0,0625c \cdot 16 = 1 \Rightarrow c = 0,0625.

O item está CERTO.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E afirma que o item está errado, mas o cálculo acima demonstra que c=0,0625c = 0,0625 é exatamente o valor correto. O erro do candidato que marca E geralmente vem de:

  • Esquecer a simetria da função módulo, calculando ∫−∞+∞e−∣x∣/8 dx=8\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|/8} \, dx = 8 em vez de 1616, o que levaria a c=0,125c = 0,125.

  • Errar a integral de e−x/8e^{-x/8}, esquecendo o fator 8 na primitiva.

Nenhuma dessas hipóteses se sustenta: o valor correto é 0,06250,0625.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora o erro clássico de esquecer que ∣x∣|x| torna a função par, exigindo multiplicar a integral de 00 a ∞\infty por 2. Quem calcula ∫−∞+∞e−∣x∣/8dx=8\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|/8} dx = 8 obtém c=0,125c = 0,125 e marca E. Lembre-se: módulo = simetria = dobrar a área de um lado.

PEGA ESSA DICA!

Para funções densidade com módulo, SEMPRE verifique a paridade. Se f(x)=f(−x)f(x) = f(-x), calcule a integral de 00 a ∞\infty e multiplique por 2. Isso evita o erro mais comum nesse tipo de questão.

Gabarito: letra C — CERTO.

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