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Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024

EstatísticaCálculo de Probabilidades
Código
ce166891
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANAC
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Especialista em Regulação de Aviação Civil - Área 3
Uma função de densidade tem a forma f(x) = c ∙ exp (− |x|/8), em que c representa a constante de normalização e x pode assumir qualquer valor real. Com base nessa função, julgue o próximo item.A variância da distribuição proporcionada pela função de densidade apresentada é igual a 128.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Variância da distribuição de Laplace (dupla exponencial)

Gabarito: letra C — CERTO. A função f(x)=c⋅e−∣x∣/8f(x) = c \cdot e^{-|x|/8} é a densidade de uma distribuição de Laplace (ou dupla exponencial) com parâmetro de escala b=8b = 8, cuja variância é 2b2=2⋅82=1282b^2 = 2 \cdot 8^2 = 128. Portanto, a afirmação está correta.

A distribuição de Laplace é uma distribuição contínua e simétrica em torno de zero, definida para todo x∈Rx \in \mathbb{R}. Sua função densidade de probabilidade é dada por:

f(x)=12be−∣x∣/bf(x) = \frac{1}{2b} e^{-|x|/b}

No enunciado, temos f(x)=c⋅e−∣x∣/8f(x) = c \cdot e^{-|x|/8}, logo b=8b = 8 e a constante de normalização é c=12⋅8=116c = \frac{1}{2 \cdot 8} = \frac{1}{16}. A média dessa distribuição é μ=0\mu = 0 (por simetria), e a variância é:

Var(X)=2b2=2⋅82=2⋅64=128\text{Var}(X) = 2b^2 = 2 \cdot 8^2 = 2 \cdot 64 = 128

Portanto, o item está CERTO.

1Densidade: f(x) ∝ e^(−|x|/b)
2Parâmetro de escala: b = 8
3Constante de normalização: c = 1/(2b) = 1/16
4Média: μ = 0 (simetria)
5Variância: 2b² = 2·8² = 128
Distribuição de Laplace (dupla exponencial)
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Distribuição de Laplace (dupla exponencial): Densidade: f(x) ∝ e^(−|x|/b); Parâmetro de escala: b = 8; Constante de normalização: c = 1/(2b) = 1/16; Média: μ = 0 (simetria); Variância: 2b² = 2·8² = 128

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. A variância da distribuição de Laplace com parâmetro de escala b=8b = 8 é 2b2=1282b^2 = 128. O cálculo pode ser feito diretamente pela fórmula da variância da Laplace, ou integrando x2f(x)x^2 f(x) sobre todo o eixo real, aproveitando a simetria da função. A constante de normalização c=1/16c = 1/16 garante que a integral da densidade seja 1, mas não altera o valor da variância, que depende apenas de bb.

PEGA ESSA DICA!

Para reconhecer a distribuição de Laplace, observe a presença do módulo ∣x∣|x| no expoente da exponencial. A densidade tem a forma f(x)∝e−∣x∣/bf(x) \propto e^{-|x|/b}, e a variância é sempre 2b22b^2. Compare com a distribuição exponencial, que tem suporte em [0,∞)[0, \infty) e densidade f(x)=λe−λxf(x) = \lambda e^{-\lambda x}, com variância 1/λ21/\lambda^2 — a Laplace é a versão "simétrica" da exponencial.

Gabarito: letra C — CERTO.

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