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Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2024

EstatísticaInferência estatística
Código
ce167060
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANATEL
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Especialista em Regulação de Serviços Públicos de Telecomunicações – Especialidade: Ciências de Dados
Uma amostra aleatória simples de tamanho n será retirada, com reposição, de certa população para a estimação de um parâmetro populacional λ. O estimador, representado por Tn , possui as propriedades E [Tn] = (n+2)λ/n  e Var [Tn] = λ2/n .
No que diz respeito ao estimador hipotético Tn do parâmetro λ, julgue o seguinte item.Se n = 10, então o erro quadrático médio de Tn será igual a λ²/10.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Erro quadrático médio (EQM) de um estimador

Gabarito: ERRADO. Para n = 10, o erro quadrático médio de Tn é 2λ²/10 = λ²/5, e não λ²/10. O EQM é a soma do viés ao quadrado com a variância: EQM(Tn) = [Bias(Tn)]² + Var(Tn). Como E[Tn] = (n+2)λ/n, o viés é 2λ/n, e com Var(Tn) = λ²/n, obtém-se EQM = (2λ/n)² + λ²/n = 4λ²/n² + λ²/n. Para n = 10, isso resulta em 4λ²/100 + λ²/10 = λ²/25 + λ²/10 = (2λ² + 5λ²)/50 = 7λ²/50, que é diferente de λ²/10. Portanto, a afirmação está incorreta.

O erro quadrático médio (EQM) é uma medida da qualidade de um estimador que combina dois componentes: o viés (diferença sistemática entre o valor esperado do estimador e o verdadeiro parâmetro) e a variância (dispersão do estimador em torno de sua média). A fórmula é:

EQM(Tn)=E[(Tn−λ)2]=[Bias(Tn)]2+Var(Tn)EQM(T_n) = E[(T_n - \lambda)^2] = [Bias(T_n)]^2 + Var(T_n)

em que Bias(Tn)=E[Tn]−λBias(T_n) = E[T_n] - \lambda.

No problema, temos:

  • E[Tn]=(n+2)λnE[T_n] = \frac{(n+2)\lambda}{n}

  • Var(Tn)=λ2nVar(T_n) = \frac{\lambda^2}{n}

Portanto, o viés é:

Bias(Tn)=(n+2)λn−λ=2λnBias(T_n) = \frac{(n+2)\lambda}{n} - \lambda = \frac{2\lambda}{n}

E o EQM fica:

EQM(Tn)=(2λn)2+λ2n=4λ2n2+λ2nEQM(T_n) = \left(\frac{2\lambda}{n}\right)^2 + \frac{\lambda^2}{n} = \frac{4\lambda^2}{n^2} + \frac{\lambda^2}{n}

Para n = 10:

EQM(T10)=4λ2100+λ210=λ225+λ210=2λ2+5λ250=7λ250EQM(T_{10}) = \frac{4\lambda^2}{100} + \frac{\lambda^2}{10} = \frac{\lambda^2}{25} + \frac{\lambda^2}{10} = \frac{2\lambda^2 + 5\lambda^2}{50} = \frac{7\lambda^2}{50}

O valor λ²/10 = 5λ²/50, que é diferente de 7λ²/50. Logo, a afirmativa está errada.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta induzir o candidato a considerar apenas a variância como EQM, ignorando o viés. Como o estimador é viesado (E[Tn] ≠ λ), o EQM não é simplesmente Var(Tn). O candidato que não calcula o viés cai na armadilha e marca "Certo".

Caso

Atribuição

Resultado

Cálculo do viés

(E[Tn]=(n+2)λn)(E[T_n] = \frac{(n+2)\lambda}{n})

Bias(Tn)=2λnBias(T_n) = \frac{2\lambda}{n}

EQM geral

EQM=(2λn)2+λ2nEQM = \left(\frac{2\lambda}{n}\right)^2 + \frac{\lambda^2}{n}

EQM=4λ2n2+λ2nEQM = \frac{4\lambda^2}{n^2} + \frac{\lambda^2}{n}

Substituição (n=10)

EQM=4λ2100+λ210EQM = \frac{4\lambda^2}{100} + \frac{\lambda^2}{10}

EQM=7λ250EQM = \frac{7\lambda^2}{50}

Comparação com a afirmação

Afirmação: λ210=5λ250\frac{\lambda^2}{10} = \frac{5\lambda^2}{50}

(7λ250≠5λ250)→(\frac{7\lambda^2}{50} \neq \frac{5\lambda^2}{50}) →Errado

Alternativa E — ❌ Errado (gabarito)

A afirmação de que o EQM é λ²/10 para n = 10 está incorreta. O cálculo correto, mostrado acima, resulta em 7λ²/50. O erro está em desconsiderar o termo de viés ao quadrado, que contribui com λ²/25 para o EQM. Portanto, a alternativa correta é ERRADO.

Gabarito: ERRADO

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