Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce167061

Consistência de estimadores

Gabarito: letra C (CERTO). O estimador $T_n$ é consistente porque, além de ser assintoticamente não viciado (o viés tende a zero quando $n \to \infty$ ), sua variância tende a zero quando o tamanho da amostra cresce — condição suficiente para a consistência em probabilidade. A definição clássica exige que o estimador convirja em probabilidade para o parâmetro, e isso é garantido quando o viés e a variância se anulam no limite.

Um estimador é dito consistente quando, à medida que o tamanho da amostra cresce, ele se aproxima do verdadeiro valor do parâmetro. Formalmente, $T_n$ é consistente para $\lambda$ se $T_n \xrightarrow{p} \lambda$ , ou seja, se para qualquer $\epsilon > 0$ , $P(|T_n - \lambda| > \epsilon) \to 0$ quando $n \to \infty$ . Uma condição suficiente (e muito cobrada em provas) é que o estimador seja assintoticamente não viciado e que sua variância tenda a zero — é o que chamamos de consistência pela convergência do erro quadrático médio (EQM).

No caso do enunciado, temos:

$E[T_n] = \frac{(n+2)\lambda}{n} = \lambda + \frac{2\lambda}{n}$
$Var[T_n] = \frac{\lambda^2}{n}$

O viés é $E[T_n] - \lambda = \frac{2\lambda}{n}$ , que tende a zero quando $n \to \infty$ . A variância também tende a zero. Portanto, o erro quadrático médio, dado por $EQM(T_n) = Var(T_n) + [Bias(T_n)]^2$ , tende a zero, o que implica consistência.

A banca explora exatamente essa definição: muitos candidatos confundem consistência com não viés (ausência de viés para qualquer $n$ ). Aqui o estimador é viciado para amostras finitas (o viés é $2\lambda/n$ ), mas isso não impede a consistência — o que importa é o comportamento assintótico. Essa é a pegadinha central da questão.

NÃO CAIA NESSA!

A banca quer que você confunda "não viciado" com "consistente". O estimador $T_n$ não é não viciado (pois $E[T_n] \neq \lambda$ para $n$ finito), mas isso não o torna inconsistente. A consistência exige apenas que o viés e a variância desapareçam no limite — e ambos desaparecem aqui. Lembre-se: um estimador pode ser viciado e ainda assim consistente, desde que o viés tenda a zero.

Propriedade	Expressão	Limite quando $n \to \infty$	Implicação
Esperança	$(E[T_n] = \lambda + \frac{2\lambda}{n})$	$(\lambda)$	Assintoticamente não viciado
Viés	$Bias(T_n) = \frac{2\lambda}{n}$	(0)	Viés desaparece
Variância	$Var[T_n] = \frac{\lambda^2}{n}$	(0)	Variância desaparece
EQM	$EQM(T_n) = \frac{\lambda^2}{n} + \frac{4\lambda^2}{n^2}$	(0)	Convergência em probabilidade
Consistência	$(T_n \xrightarrow{p} \lambda)$	$(P(\lvert T_n - \lambda \rvert > \epsilon) \to 0)$	Consistente (CERTO)

Item — ✅ CERTO

O item afirma que $T_n$ é consistente. Para verificar, calculamos o limite do erro quadrático médio:

EQM(T_n) = Var(T_n) + [Bias(T_n)]^2 = \frac{\lambda^2}{n} + \left(\frac{2\lambda}{n}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{n} + \frac{4\lambda^2}{n^2}

Quando $n \to \infty$ , ambos os termos tendem a zero, logo $EQM(T_n) \to 0$ . Pela desigualdade de Tchebycheff, se o EQM tende a zero, então $T_n$ converge em probabilidade para $\lambda$ , o que é a definição de consistência. Portanto, o item está CERTO.

Gabarito: letra C (CERTO).

Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2024

Consistência de estimadores

Item — ✅ CERTO