Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2024

Erro-padrão de um estimador

Gabarito: letra E (ERRADO). O erro-padrão de um estimador é a raiz quadrada da sua variância. Como a variância de $T_n$ é dada por $\text{Var}[T_n] = \lambda^2/n$, o erro-padrão é $\sqrt{\lambda^2/n} = \lambda/\sqrt{n}$, que depende de $\lambda$ e de $n$ — não é igual a 1 em geral. A afirmação só seria verdadeira se $\lambda = \sqrt{n}$, o que não é garantido pelo enunciado.

O erro-padrão (ou desvio-padrão do estimador) mede a dispersão da distribuição amostral do estimador em torno do seu valor esperado. É uma medida de precisão: quanto menor o erro-padrão, mais concentrada é a distribuição do estimador e, portanto, mais precisa é a estimativa. A definição é direta: $\text{EP}(T_n) = \sqrt{\text{Var}[T_n]}$.

No problema, o enunciado fornece a variância do estimador: $\text{Var}[T_n] = \lambda^2/n$. Aplicando a definição, temos:

Esse resultado mostra que o erro-padrão é uma função de $\lambda$ (o parâmetro populacional desconhecido) e do tamanho amostral $n$. Para que o erro-padrão fosse igual a 1, seria necessário que $\lambda = \sqrt{n}$. Como o enunciado não fornece valores específicos para $\lambda$ ou $n$, a afirmação "o erro-padrão de $T_n$ é igual a 1" não pode ser considerada correta em geral. Ela seria verdadeira apenas em um caso particular, não na situação genérica apresentada.

A pegadinha da questão está em tentar confundir o candidato com a esperança do estimador. O enunciado informa que $E[T_n] = (n+2)\lambda/n$, que é uma expressão que não é igual a $\lambda$ (o estimador é viesado). Algum candidato poderia ser tentado a usar essa expressão para calcular algo, mas ela é irrelevante para o erro-padrão, que depende apenas da variância. A banca explora exatamente essa confusão: misturar a esperança (que não é usada no cálculo do erro-padrão) com a variância (que é a base do cálculo).

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que o erro-padrão de $T_n$ é igual a 1. Isso está errado porque o erro-padrão é $\lambda/\sqrt{n}$, que depende dos valores de $\lambda$ e $n$. Sem informações adicionais sobre esses parâmetros, não é possível afirmar que o erro-padrão seja 1. A alternativa seria correta apenas no caso particular em que $\lambda = \sqrt{n}$, o que não é dado no enunciado.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa está correta ao afirmar que o item é errado. O erro-padrão de $T_n$ é $\sqrt{\text{Var}[T_n]} = \sqrt{\lambda^2/n} = \lambda/\sqrt{n}$, que não é igual a 1 em geral. A afirmação do enunciado é, portanto, falsa.

Gabarito: letra E (ERRADO).