Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2024

Estimadores: viés e consistência assintótica

Gabarito: letra C (CERTO). O estimador $T_n$ é assintoticamente não viciado porque o limite da sua esperança, quando $n$ tende ao infinito, é exatamente o parâmetro $\lambda$: $\lim_{n\to\infty} E[T_n] = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+2)\lambda}{n} = \lambda$. A definição de não viés assintótico exige apenas que o viés tenda a zero com o crescimento da amostra — e é isso que ocorre aqui, pois o viés é $\frac{2\lambda}{n}$, que converge para zero.

Um estimador é dito não viciado (ou não tendencioso, não viesado) quando sua esperança é igual ao parâmetro populacional: $E[T_n] = \lambda$. Quando essa igualdade não se verifica para amostras finitas, mas o viés desaparece à medida que o tamanho da amostra cresce, dizemos que o estimador é assintoticamente não viciado. Formalmente, $\lim_{n\to\infty} E[T_n] = \lambda$.

No caso apresentado, temos:

O termo $\frac{2\lambda}{n}$ é o viés do estimador para amostras finitas. Quando $n \to \infty$, esse termo tende a zero, de modo que $E[T_n] \to \lambda$. Portanto, o estimador é assintoticamente não viciado.

É importante distinguir não viés assintótico de consistência. Um estimador é consistente se converge em probabilidade para o parâmetro, o que exige, além do não viés assintótico, que a variância tenda a zero. No problema, $Var[T_n] = \lambda^2/n$, que também tende a zero, então o estimador seria consistente — mas a questão pergunta apenas sobre o não viés assintótico, que já é satisfeito.

✅ CERTO. O item está correto, pois o limite da esperança do estimador é o parâmetro $\lambda$.

Gabarito: letra C