Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce167064

Padronização de um estimador normal

Gabarito: CERTO. Se $T_n$ tem distribuição normal, então qualquer transformação linear de $T_n$ também tem distribuição normal. A expressão dada é exatamente a padronização $Z = \frac{X - E[X]}{\sqrt{Var[X]}}$ , que transforma uma normal qualquer em uma normal padrão $N(0,1)$ . Como $E[T_n] = \frac{(n+2)\lambda}{n}$ e $Var[T_n] = \frac{\lambda^2}{n}$ , a razão apresentada é precisamente $Z = \frac{T_n - E[T_n]}{\sqrt{Var[T_n]}}$ , que segue distribuição normal padrão.

A questão cobra a propriedade fundamental da distribuição normal: se $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ , então $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$ . Essa transformação é chamada de padronização ou normalização e é a base para o uso da tabela da normal padrão em cálculos de probabilidade, intervalos de confiança e testes de hipóteses.

Vamos verificar passo a passo:

Média de $T_n$ : $E[T_n] = \frac{(n+2)\lambda}{n}$ .
Variância de $T_n$ : $Var[T_n] = \frac{\lambda^2}{n}$ .
Desvio padrão de $T_n$ : $\sqrt{Var[T_n]} = \frac{\lambda}{\sqrt{n}}$ (considerando $\lambda > 0$ , como é usual para um parâmetro populacional).

A expressão dada no enunciado é:

\frac{nT_n - (n+2)\lambda}{\sqrt{n}\lambda}

Podemos reescrever o numerador:

nT_n - (n+2)\lambda = n\left(T_n - \frac{(n+2)\lambda}{n}\right) = n\left(T_n - E[T_n]\right)

E o denominador:

\sqrt{n}\lambda = n \cdot \frac{\lambda}{\sqrt{n}} = n \cdot \sqrt{Var[T_n]}

Portanto, a expressão inteira é:

\frac{n\left(T_n - E[T_n]\right)}{n \sqrt{Var[T_n]}} = \frac{T_n - E[T_n]}{\sqrt{Var[T_n]}} = Z

Como $T_n$ é normal, $Z$ é exatamente a variável normal padrão. O item está CERTO.

Distribuição Normal Padronizada — só Normal: N(μ,σ²); só Normal Padrão: N(0,1); Normal∩Normal Padrão: Z=(X-μ)/σ

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir ao apresentar a expressão com $n$ multiplicando o numerador e $\sqrt{n}$ no denominador, o que pode parecer uma transformação diferente da padronização usual. Mas, ao fatorar o $n$ , vemos que é exatamente a mesma fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ . O candidato que não simplifica a expressão pode achar que falta algum termo ou que a variância não foi usada corretamente. Fique atento: sempre que houver uma transformação linear de uma variável normal, o resultado é normal; a padronização é apenas um caso particular.

Gabarito: CERTO.

Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2024

Padronização de um estimador normal