Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2024

Estimativa de máxima verossimilhança para a distribuição geométrica

Gabarito: CERTO. A distribuição dada é a geométrica (número de falhas antes do primeiro sucesso), cuja média é $E(W) = \frac{1-p}{p}$. Pelo método da máxima verossimilhança, o estimador de $p$ é o inverso da média amostral somada a 1, ou seja, $\hat{p} = \frac{1}{\bar{x} + 1}$. Com a amostra (2, 3, 1, 0, 2), a média amostral é $\bar{x} = 8/5$, e a estimativa da média de $W$ é $\frac{1-\hat{p}}{\hat{p}} = \bar{x} = 8/5$. Portanto, a afirmação está correta.

A distribuição de probabilidade $P(W = w) = p(1-p)^w$, com $w \in \{0, 1, 2, \ldots\}$, é a distribuição geométrica que conta o número de falhas antes do primeiro sucesso. A média dessa distribuição é $E(W) = \frac{1-p}{p}$. O método da máxima verossimilhança busca o valor de $p$ que maximiza a probabilidade de observar a amostra dada. Para uma amostra $x_1, \ldots, x_n$, a função de verossimilhança é $L(p) = \prod_{i=1}^n p(1-p)^{x_i} = p^n (1-p)^{\sum x_i}$. Maximizar $L(p)$ é equivalente a maximizar o logaritmo natural: $\ln L(p) = n \ln p + (\sum x_i) \ln(1-p)$. Derivando em relação a $p$ e igualando a zero, obtemos $\hat{p} = \frac{n}{n + \sum x_i} = \frac{1}{\bar{x} + 1}$. Assim, a estimativa de máxima verossimilhança da média é $\hat{E}(W) = \frac{1-\hat{p}}{\hat{p}} = \bar{x}$. Ou seja, a estimativa de MV da média é a própria média amostral. Com os dados (2, 3, 1, 0, 2), a média amostral é $\bar{x} = \frac{2+3+1+0+2}{5} = \frac{8}{5}$. Portanto, a estimativa da média de $W$ é $8/5$, confirmando o item.

A pegadinha aqui é que muitos candidatos podem confundir a estimativa do parâmetro $p$ com a estimativa da média. Enquanto $\hat{p} = 1/(\bar{x}+1) = 1/(8/5 + 1) = 5/13$, a média estimada é $\bar{x} = 8/5$. A banca explora exatamente essa confusão: o item afirma corretamente que a estimativa da média é $8/5$, mas quem não lembra que a média da geométrica é $(1-p)/p$ pode achar que precisa calcular $1/\hat{p}$ ou algo similar.

✅ CERTO.