Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce167066

Estimação por máxima verossimilhança: distribuição geométrica

Gabarito: letra E (ERRADO). A estimativa de máxima verossimilhança de $p$ para a distribuição dada é $\hat{p} = 1/(1+\bar{X})$ , e com a amostra 2, 3, 1, 0, 2 temos $\bar{X} = 8/5 = 1,6$ , logo $\hat{p} = 1/2,6 \approx 0,3846$ . O item afirma que a estimativa é 0,625, o que está incorreto — o valor 0,625 seria obtido se a fórmula fosse $1/\bar{X}$ , mas a correta é $1/(1+\bar{X})$ .

A distribuição apresentada, $P(W = w) = p(1-p)^w$ com $w \in \{0,1,2,\ldots\}$ , é a distribuição geométrica na parametrização que conta o número de fracassos antes do primeiro sucesso. O método da máxima verossimilhança (MV) consiste em escolher o valor do parâmetro que maximiza a probabilidade de se observar a amostra que de fato foi obtida. Para uma amostra aleatória simples $w_1, \ldots, w_n$ , a função de verossimilhança é o produto das probabilidades individuais:

L(p) = \prod_{i=1}^{n} p(1-p)^{w_i} = p^n (1-p)^{\sum w_i}.

Tomando o logaritmo natural (que preserva o ponto de máximo):

\ell(p) = n\ln(p) + \left(\sum_{i=1}^{n} w_i\right)\ln(1-p).

Derivando em relação a $p$ e igualando a zero:

\frac{d\ell}{dp} = \frac{n}{p} - \frac{\sum w_i}{1-p} = 0 \Rightarrow \frac{n}{p} = \frac{\sum w_i}{1-p} \Rightarrow n(1-p) = p\sum w_i \Rightarrow n = p\left(n + \sum w_i\right).

Portanto, o estimador de MV é:

\hat{p} = \frac{n}{n + \sum w_i} = \frac{1}{1 + \bar{X}}.

Aplicando aos dados: $n = 5$ , $\sum w_i = 2+3+1+0+2 = 8$ , então $\bar{X} = 8/5 = 1,6$ . Substituindo:

\hat{p} = \frac{1}{1 + 1,6} = \frac{1}{2,6} \approx 0,3846.

O valor 0,625 seria obtido se a fórmula fosse $1/\bar{X} = 1/1,6 = 0,625$ , mas essa é a fórmula para a distribuição exponencial (quando a variável é contínua e o parâmetro é a taxa), não para a geométrica discreta. A pegadinha da banca está exatamente em confundir essas duas parametrizações.

Item — ❌ Errado

A afirmativa de que a estimativa de máxima verossimilhança de $p$ é igual a 0,625 está errada. O cálculo correto, conforme demonstrado, resulta em $\hat{p} \approx 0,3846$ . O erro do candidato que marca "certo" é usar a fórmula $1/\bar{X}$ em vez de $1/(1+\bar{X})$ , esquecendo que na distribuição geométrica o suporte começa em $w=0$ , o que adiciona o termo $+1$ no denominador. Esse é um erro clássico de confundir a geométrica com a exponencial.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a distribuição geométrica (discreta, com suporte em 0, 1, 2, ...) e a exponencial (contínua). Na exponencial, o EMV da taxa é $1/\bar{X}$ ; na geométrica, é $1/(1+\bar{X})$ . O valor 0,625 é exatamente $1/1,6$ , o que indica que o candidato que marcou "certo" usou a fórmula errada. Fique atento: sempre verifique o suporte da distribuição antes de aplicar a fórmula do EMV.

PEGA ESSA DICA!

Para memorizar: na geométrica com $P(W=w) = p(1-p)^w$ , o EMV é $\hat{p} = 1/(1+\bar{X})$ . Se a distribuição fosse $P(W=w) = p(1-p)^{w-1}$ (suporte começando em 1), o EMV seria $1/\bar{X}$ . A diferença está no suporte: se começa em 0, some 1 no denominador; se começa em 1, não some. Essa distinção é recorrente em provas de estatística.

Gabarito: letra E (ERRADO).

Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2024

Estimação por máxima verossimilhança: distribuição geométrica

Item — ❌ Errado