Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2024

Estimativa de máxima verossimilhança para a moda da distribuição geométrica

Gabarito: ERRADO. A moda de W depende do parâmetro p, pois a distribuição geométrica (com suporte em 0, 1, 2, …) é estritamente decrescente em w, de modo que a moda é sempre 0, independentemente do valor de p. Portanto, a afirmação de que "não há estimador de máxima verossimilhança para a moda de W, já que o valor da moda não depende da probabilidade p" é falsa: a moda é constante e igual a 0, e o estimador de máxima verossimilhança dessa constante é o próprio valor 0.

A distribuição dada, $P(W = w) = p(1-p)^w$ para $w \in \{0, 1, 2, \ldots\}$, é a distribuição geométrica (na parametrização que conta o número de fracassos antes do primeiro sucesso). Para qualquer $p \in (0,1)$, a função de probabilidade é estritamente decrescente: $P(W=0) = p$, $P(W=1) = p(1-p)$, $P(W=2) = p(1-p)^2$, e assim por diante. Como cada termo é multiplicado por $(1-p) < 1$, a probabilidade diminui conforme $w$ aumenta. Logo, o valor mais provável (a moda) é sempre $w = 0$, independentemente de $p$.

O método da máxima verossimilhança estima parâmetros desconhecidos maximizando a verossimilhança da amostra. Aqui, o parâmetro é $p$, e o estimador de máxima verossimilhança de $p$ é o inverso da média amostral mais 1: $\hat{p} = \frac{1}{\bar{x} + 1}$ (para a parametrização com suporte em 0, 1, 2, …). Mas a moda não é um parâmetro a ser estimado por máxima verossimilhança no sentido usual — ela é uma função da distribuição, e, como a distribuição é conhecida (geométrica), a moda é uma constante conhecida: 0. O estimador de máxima verossimilhança de uma constante é a própria constante, pois a verossimilhança não depende dela. Portanto, existe sim um estimador de máxima verossimilhança para a moda: o valor 0.

A pegadinha da banca está em afirmar que a moda não depende de p, o que é verdade, mas concluir que por isso não há estimador. A conclusão correta é que, como a moda é constante, o estimador é trivial.

Item — ❌ ERRADO

A afirmação de que "não há estimador de máxima verossimilhança para a moda de W, já que o valor da moda não depende da probabilidade p" está errada. O fato de a moda não depender de p não impede a existência de um estimador; pelo contrário, como a moda é sempre 0, o estimador de máxima verossimilhança é simplesmente 0. A justificativa apresentada no item é logicamente inválida: a constância da moda torna a estimativa trivial, não inexistente.

Conclusão: o item está ERRADO, pois existe estimador de máxima verossimilhança para a moda (o valor 0), e a justificativa apresentada é falsa.

Gabarito: ERRADO