Especialista em Regulação de Serviços Públicos de Telecomunicações – Especialidade: Ciências de Dados
Os valores 2, 3, 1, 0, 2 constituem uma amostra aleatória
simples de tamanho 5 retirada de uma distribuição discreta W, na
qual
P(W = w) = p(1-p)w, com w ∈ { 0, 1, 2, … }, sendo p um
parâmetro que denota uma probabilidade.
Com base nas informações precedentes e no método de estimação por máxima verossimilhança, julgue o próximo item.O estimador de máxima verossimilhança para a variância de W é a variância amostral.
CCerto
EErrado
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GabaritoE — Errado
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Estimação por máxima verossimilhança da variância
Gabarito: letra E (ERRADO). O estimador de máxima verossimilhança (EMV) para a variância de uma distribuição discreta W, com função de probabilidade dada, não é a variância amostral usual (com denominador n−1), mas sim um estimador que utiliza o denominador n, sendo, portanto, viciado (tendencioso) para a variância populacional. A afirmação do item está incorreta.
A questão envolve a aplicação do método de máxima verossimilhança para estimar a variância de uma distribuição discreta. O método de máxima verossimilhança consiste em encontrar os valores dos parâmetros que maximizam a probabilidade (ou densidade, para variáveis contínuas) de a amostra observada ter sido obtida. Para isso, é necessário conhecer a distribuição da variável em estudo.
No caso específico, a distribuição de W é uma distribuição geométrica (com suporte em {0, 1, 2, ...}), onde P(W = w) = p(1−p)^w. Para essa distribuição, a média é E(W) = (1−p)/p e a variância é Var(W) = (1−p)/p². O parâmetro p é desconhecido e deve ser estimado por máxima verossimilhança. A partir do EMV de p, obtém-se o EMV da variância, que é uma função do EMV de p. Esse estimador, em geral, não coincide com a variância amostral.
A variância amostral, definida como s² = Σ(Xi − X̄)²/(n−1), é um estimador não viciado para a variância populacional, mas não é, em geral, o estimador de máxima verossimilhança. O EMV para a variância, quando a distribuição é normal, é σ̂² = Σ(Xi − X̄)²/n, que é viciado. Para outras distribuições, o EMV da variância pode assumir formas diferentes, mas raramente coincide com a variância amostral com denominador n−1.
Portanto, a afirmação de que o EMV para a variância de W é a variância amostral está incorreta, pois o EMV é um estimador diferente, geralmente viciado, e depende da distribuição específica da variável.
Estimador de máxima verossimilhança (EMV): Definição (Maximiza a verossimilhança da amostra, Função do parâmetro estimado); Variância (EMV) (Denominador n, Viciado (tendencioso)); Variância amostral (s²) (Denominador n−1, Não viciado, Não é o EMV)
Alternativa E — ❌ Incorreta ⟵ GABARITO
A alternativa afirma que o estimador de máxima verossimilhança para a variância de W é a variância amostral. Isso está errado. O EMV para a variância é obtido a partir do EMV do parâmetro p, e não é igual à variância amostral. A variância amostral com denominador n−1 é um estimador não viciado, mas não é o EMV. O EMV, em geral, utiliza o denominador n e é viciado. A banca explora a confusão entre o estimador não viciado (variância amostral) e o estimador de máxima verossimilhança, que são conceitos distintos.