Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024

Independência de variáveis aleatórias contínuas

Gabarito: letra E (ERRADO). As variáveis X e Y não são independentes, pois a densidade condicional dada, $f(x|y) = y e^{-xy}$, depende de $y$ de forma que não pode ser fatorada como produto de uma função só de $x$ por uma função só de $y$ — condição necessária e suficiente para a independência. A densidade conjunta correspondente é $f(x,y) = y e^{-xy}$, que não se fatora, logo a afirmação é falsa.

Para que duas variáveis aleatórias contínuas sejam independentes, sua função densidade de probabilidade conjunta deve poder ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de $x$ e outra que depende apenas de $y$: $f(x,y) = g(x) \cdot h(y)$. Essa é a condição necessária e suficiente, conforme a teoria de probabilidade conjunta. No caso apresentado, a densidade condicional é $f(x|y) = y e^{-xy}$. A densidade conjunta é obtida multiplicando pela marginal de $Y$: $f(x,y) = f(x|y) \cdot f_Y(y)$. Mesmo sem conhecer $f_Y(y)$, a forma funcional $y e^{-xy}$ já revela a dependência: o termo $y$ multiplica o exponencial, e o expoente $-xy$ mistura as duas variáveis. Não é possível separar em um fator que dependa somente de $x$ e outro somente de $y$. Portanto, X e Y são dependentes.

A pegadinha da banca está em apresentar a densidade condicional e perguntar sobre independência. O candidato pode ser tentado a olhar apenas para a forma $e^{-xy}$ e pensar que é um produto, mas o termo $y$ fora do exponencial e o produto $xy$ no expoente quebram a fatoração. Além disso, a independência exigiria que a condicional não dependesse do valor condicionado, o que claramente não ocorre aqui: $f(x|y)$ varia com $y$.

Alternativa E — ❌ Incorreta (gabarito)

A afirmação de que X e Y são independentes está errada. A densidade condicional $f(x|y) = y e^{-xy}$ depende de $y$, e a densidade conjunta $f(x,y) = y e^{-xy}$ não pode ser fatorada como $g(x) \cdot h(y)$. A condição de independência — fatoração da densidade conjunta — não é satisfeita. Portanto, as variáveis são dependentes.

Gabarito: letra E (ERRADO).