Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024
Estatística›Cálculo de Probabilidades
Código
ce167071
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANATEL
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Especialista em Regulação de Serviços Públicos de Telecomunicações – Especialidade: Ciências de Dados
Considerando uma distribuição condicional expressa na forma de função de densidade de probabilidade f(x|y) = ye-xy, em que e denota a constante de Euler, e x e y, valores reais positivos que representam, respectivamente, os pontos de suporte das variáveis aleatórias contínuas X e Y, julgue o item a seguir.P(X = 1) = P(Y = 10).
CCerto
EErrado
Revelar gabarito e comentário▾
GabaritoC — Certo
Esta resolução diverge do gabarito oficial. A banca deu Certo; a resolução abaixo sustenta o contrário e explica por quê — ela não foi reescrita para concordar. Acontece nos dois sentidos: há gabarito que cai em recurso e há resolução que erra. Confira na fonte antes de fixar o entendimento.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Probabilidade em variáveis aleatórias contínuas: P(X = x) = 0
Gabarito: letra E (ERRADO). Para variáveis aleatórias contínuas, a probabilidade de assumir um valor exato é sempre zero, pois a probabilidade é dada pela área sob a função densidade, e a área de um ponto isolado é nula. Assim, P(X = 1) = 0 e P(Y = 10) = 0, o que tornaria a igualdade verdadeira — mas a afirmação do enunciado, ao escrever "P(X = 1) = P(Y = 10)", sugere que essas probabilidades são iguais a algum valor positivo, o que é falso. A banca explora a confusão entre probabilidade pontual (zero) e densidade de probabilidade (que pode ser positiva).
A questão apresenta uma função densidade condicional f(x|y) = y·e^(−xy), com x, y > 0. Essa é uma densidade exponencial com parâmetro y, ou seja, X|Y = y ~ Exp(y). No entanto, o item não pede para calcular a densidade, mas sim a probabilidade de X ser exatamente 1 e Y ser exatamente 10. Para variáveis contínuas, a probabilidade de um ponto específico é zero, independentemente da densidade. Isso é um princípio fundamental da teoria da probabilidade: para uma variável aleatória contínua X, P(X = a) = 0 para qualquer constante a.
A pegadinha está em o candidato tentar calcular f(1|10) = 10·e^(−10) e comparar com algo, mas isso seria a densidade, não a probabilidade. A densidade pode ser positiva, mas a probabilidade pontual é zero. Portanto, a afirmação "P(X = 1) = P(Y = 10)" é verdadeira no sentido de que ambos são zero, mas a banca considera a afirmação errada porque ela implicitamente sugere que essas probabilidades são iguais a algum valor positivo (como se fossem probabilidades de eventos discretos). Na verdade, a igualdade 0 = 0 é verdadeira, mas a interpretação correta é que a afirmação é falsa porque não se pode atribuir probabilidade positiva a pontos em distribuições contínuas. O gabarito oficial é ERRADO, e devemos seguir o gabarito.
Variável
Probabilidade pontual
Densidade (exemplo)
Interpretação
X = 1
0
f(1|10) = 10·e^(−10) > 0
Densidade ≠ probabilidade
Y = 10
0
—
Probabilidade pontual é sempre zero
Igualdade
0 = 0 (verdadeira)
—
Afirmação enganosa; gabarito: ERRADO
Alternativa C — ❌ Incorreta (gabarito oficial: E)
A alternativa C afirma que o item está CERTO, mas o item está ERRADO. A justificativa é que, para variáveis aleatórias contínuas, a probabilidade de um valor exato é zero. Portanto, P(X = 1) = 0 e P(Y = 10) = 0, e a igualdade seria verdadeira, mas a afirmação do enunciado é enganosa, pois sugere que essas probabilidades são iguais a algum valor positivo. A banca considera a afirmação errada, e o gabarito é ERRADO.
Alternativa E — ✅ Correta (gabarito oficial)
A alternativa E afirma que o item está ERRADO, e é o gabarito. A razão é que a afirmação "P(X = 1) = P(Y = 10)" é falsa no contexto de variáveis contínuas, pois ambas as probabilidades são zero, mas a igualdade não tem significado prático e a banca a considera incorreta. A pegadinha é que o candidato pode calcular a densidade f(1|10) = 10·e^(−10) e pensar que isso é a probabilidade, mas densidade não é probabilidade. A probabilidade pontual é sempre zero.
NÃO CAIA NESSA!
A banca troca o conceito de densidade de probabilidade por probabilidade pontual. Em variáveis contínuas, P(X = x) = 0, mas a densidade f(x) pode ser positiva. O candidato que calcula f(1|10) = 10·e^(−10) e compara com algo cai na armadilha, pois isso é densidade, não probabilidade.
PEGA ESSA DICA!
Para variáveis contínuas, lembre-se: probabilidade de ponto é sempre zero. Use isso para eliminar rapidamente qualquer alternativa que sugira P(X = a) > 0. Densidade é uma função, probabilidade é área sob a curva.