Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce167073

Probabilidade condicional com densidade conjunta

Gabarito: letra C (CERTO). A probabilidade pedida é $P(X > 1 \mid Y = 2) = e^{-2}$ , e isso decorre diretamente da integração da densidade condicional $f(x \mid y) = y e^{-xy}$ sobre $x > 1$ com $y = 2$ : $\int_{1}^{\infty} 2 e^{-2x} dx = e^{-2}$ . A densidade condicional dada é exatamente a de uma distribuição exponencial com parâmetro $y$ , e a integral confirma o valor.

A questão trabalha com variáveis aleatórias contínuas conjuntamente distribuídas. A função $f(x \mid y) = y e^{-xy}$ é a densidade condicional de $X$ dado $Y = y$ . Para calcular $P(X > 1 \mid Y = 2)$ , basta integrar essa densidade de $x = 1$ até infinito, substituindo $y = 2$ :

P(X > 1 \mid Y = 2) = \int_{1}^{\infty} 2 e^{-2x} dx = \left[ -e^{-2x} \right]_{1}^{\infty} = 0 - (-e^{-2}) = e^{-2}.

O resultado é exatamente $e^{-2}$ , que é o valor afirmado no item. A pegadinha aqui é que muitos candidatos podem tentar usar a densidade conjunta ou esquecer de condicionar corretamente, mas a densidade condicional já é fornecida, então o cálculo é direto.

Etapa	Expressão	Valor
Densidade condicional com (y=2)	(f(x \mid y=2) = 2e^{-2x})	Válida para (x>0)
Probabilidade pedida	$(P(X>1 \mid Y=2) = \int_{1}^{\infty} 2e^{-2x}\,dx)$	(= e^{-2})
Comparação com o item	(e^{-2} = e^{-2})	Verdadeiro (Certo)

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode tentar confundir o candidato fazendo-o integrar a densidade conjunta $f(x,y)$ em vez da condicional, ou trocar os limites de integração. Aqui, a densidade condicional já é dada, então basta integrar de 1 a infinito com $y = 2$ fixo. Fique atento: a densidade condicional $f(x \mid y)$ já incorpora a condição, e a integração é unidimensional.

✅ CERTO. O cálculo confirma que $P(X > 1 \mid Y = 2) = e^{-2}$ , exatamente como afirma o item.

Gabarito: letra C (CERTO).

Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024

Probabilidade condicional com densidade conjunta