Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce167074

Distribuição condicional e marginal: integrando a densidade conjunta

Gabarito: letra C (CERTO). A densidade marginal de X é obtida integrando a densidade condicional $f(x|y) = y e^{-xy}$ sobre todos os valores de Y, ponderada pela densidade de Y. Como Y ~ Exponencial(1), temos $f_Y(y) = e^{-y}$ para $y > 0$ . A integral $\int_0^\infty y e^{-xy} e^{-y} dy = \int_0^\infty y e^{-(x+1)y} dy$ resulta em $\frac{1}{(x+1)^2}$ , exatamente o que o item afirma. Portanto, a afirmação está correta.

A questão mistura dois conceitos centrais de probabilidade: distribuição condicional e distribuição marginal. Quando temos duas variáveis aleatórias contínuas X e Y, a densidade conjunta $f(x,y)$ pode ser decomposta como o produto da densidade condicional de X dado Y pela densidade marginal de Y: $f(x,y) = f(x|y) \cdot f_Y(y)$ . Para obter a densidade marginal de X, integramos a conjunta em relação a Y: $f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dy = \int_{-\infty}^{\infty} f(x|y) f_Y(y) dy$ .

Aqui, a densidade condicional dada é $f(x|y) = y e^{-xy}$ (para $x>0$ , $y>0$ ). O enunciado afirma que Y segue uma distribuição exponencial com média 1. A distribuição exponencial com parâmetro $\alpha$ tem densidade $f_Y(y) = \alpha e^{-\alpha y}$ e média $1/\alpha$ . Com média 1, temos $\alpha = 1$ , logo $f_Y(y) = e^{-y}$ .

Substituindo na fórmula da marginal:

f_X(x) = \int_0^\infty y e^{-xy} \cdot e^{-y} dy = \int_0^\infty y e^{-(x+1)y} dy.

Essa integral é resolvida pela função gama: $\int_0^\infty y e^{-a y} dy = \frac{1}{a^2}$ para $a > 0$ . Aqui, $a = x+1$ , então $f_X(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$ , que é exatamente a expressão do item. Portanto, o item está certo.

Etapa	Expressão	Resultado
1	f(x\|y) = y·e^(−xy)	Dado
2	f_Y(y) = e^(−y) (Exponencial(1))	Dado
3	f(x,y) = f(x\|y)·f_Y(y) = y·e^(−xy)·e^(−y) = y·e^(−(x+1)y)	Conjunta
4	f_X(x) = ∫₀^∞ y·e^(−(x+1)y) dy	Marginal
5	∫₀^∞ y·e^(−a·y) dy = 1/a², com a = x+1	Integral resolvida
6	f_X(x) = 1/(x+1)²	Resultado final
7	Item afirma f(x) = (x+1)^(−2)	Comparação
8	1/(x+1)² = (x+1)^(−2)	Igualdade
9	Gabarito	C (Certo)

NÃO CAIA NESSA!

A banca poderia tentar confundir o candidato fazendo-o esquecer de multiplicar pela densidade de Y. Muitos integram apenas $f(x|y)$ em relação a y, obtendo $\int_0^\infty y e^{-xy} dy = \frac{1}{x^2}$ , que não é o resultado correto. A chave é lembrar que a marginal exige a integração da conjunta, que inclui a densidade de Y. Fique atento: sempre que a condicional for dada, a marginal de X é $\int f(x|y) f_Y(y) dy$ .

PEGA ESSA DICA!

Para integrar $\int_0^\infty y e^{-a y} dy$ , use a identidade $\int_0^\infty y^n e^{-a y} dy = \frac{n!}{a^{n+1}}$ . Aqui, $n=1$ , então o resultado é $\frac{1}{a^2}$ . Essa integral aparece com frequência em questões de distribuições contínuas — memorize o padrão.

Gabarito: letra C (CERTO).

Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024

Distribuição condicional e marginal: integrando a densidade conjunta