Questão de Matemática — Álgebra Linear — CESPE / CEBRASPE 2024

Álgebra linear – Espaços vetoriais e sistemas lineares

Gabarito: Errado. O conjunto S, formado por todas as soluções do sistema linear (incluindo valores não positivos), não é um espaço vetorial se o sistema for não homogêneo, o que é o caso mais comum nesse tipo de problema. Mesmo que o sistema fosse homogêneo, a dimensão máxima seria 5 – mas, com pelo menos uma equação independente, a dimensão seria no máximo 4. Afirmar que S é um espaço vetorial de dimensão pelo menos 4 é incorreto.

A definição de espaço vetorial exige que o conjunto seja fechado para combinações lineares e contenha o vetor nulo. No contexto de um sistema linear $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, o conjunto solução é um subespaço vetorial (logo, espaço vetorial) apenas quando $\mathbf{b} = \mathbf{0}$ (sistema homogêneo). Se $\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$, o conjunto solução é um subespaço afim – não é um espaço vetorial, pois não contém a origem (a menos que $\mathbf{b} = \mathbf{0}$).

O texto-base menciona que os custos estão relacionados por um sistema, mas não fornece as equações. Contudo, em situações práticas como essa, o sistema tipicamente possui termos constantes (ex.: custo total fixo), tornando-o não homogêneo. Portanto, S não é um espaço vetorial, invalidando a afirmação independentemente da dimensão.

Adicionalmente, mesmo se considerássemos a hipótese de sistema homogêneo, a dimensão do espaço solução é $n - \text{posto}(A)$. Com 5 variáveis ($n=5$), se houver pelo menos uma equação linearmente independente, a dimensão será no máximo 4, podendo ser menor. O enunciado afirma "dimensão 4, pelo menos", o que permitiria dimensão 5 – valor que só ocorreria se não houvesse equação alguma, o que não é o caso.

Gabarito: Errado.