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Questão de Matemática — Derivada — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaDerivada
Código
ce167153
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANATEL
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Especialista em Regulação de Serviços Públicos de Telecomunicações – Especialidade: Economia
        Determinado equipamento está alocado em uma sala cuja temperatura ambiente é 20 ℃. A temperatura desse equipamento, em graus Celsius, é indicada pela função θ(t) , para o instante t, em minutos, tal que θ(0) = 40 ℃ e θ(10) = 30 ℃. Além disso, essa função satisfaz a equação diferencial a seguir, em que a constante k > 0.

Imagem da questão
Tendo como referência a situação hipotética apresentada, julgue o item a seguir, considerando que ln(0,5) = - 0,7 eln(0,24) = -1,4.No instante t = 20 min, a temperatura do equipamento será inferior a 26 ℃.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Temperatura do equipamento

Gabarito: Certo. A temperatura em t=20 min é 24,8°C, inferior a 26°C. A função θ(t) é solução da equação diferencial de resfriamento de Newton: dθ/dt = −k(θ − 20), com temperatura ambiente 20°C. Resolvendo, θ(t) = 20 + 20e^{−kt}. Usando θ(10)=30, obtém-se k = 0,07 min⁻¹. Então θ(20)=20+20e^{−1,4}=20+20×0,24=24,8°C < 26°C.

A equação diferencial que rege o problema é o modelo de resfriamento de Newton:

dθdt=−k(θ−Tamb)\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - T_{\text{amb}})

com Tamb=20 ∘CT_{\text{amb}} = 20\,^{\circ}\text{C}. A solução geral é:

θ(t)=Tamb+(θ(0)−Tamb)e−kt\theta(t) = T_{\text{amb}} + (\theta(0)-T_{\text{amb}})e^{-kt}

Substituindo θ(0)=40\theta(0)=40:

θ(t)=20+20e−kt\theta(t) = 20 + 20e^{-kt}

Para t=10t=10, θ(10)=30\theta(10)=30:

30=20+20e−10k  ⟹  10=20e−10k  ⟹  e−10k=0,530 = 20 + 20e^{-10k} \implies 10 = 20e^{-10k} \implies e^{-10k} = 0,5

Aplicando ln⁡\ln dos dois lados e usando ln⁡(0,5)=−0,7\ln(0,5)=-0,7:

−10k=−0,7  ⟹  k=0,07 min−1-10k = -0,7 \implies k = 0,07\,\text{min}^{-1}

Agora para t=20t=20:

θ(20)=20+20e−20×0,07=20+20e−1,4\theta(20) = 20 + 20e^{-20 \times 0,07} = 20 + 20e^{-1,4}

Usando ln⁡(0,24)=−1,4\ln(0,24)=-1,4, temos e−1,4=0,24e^{-1,4}=0,24:

θ(20)=20+20×0,24=20+4,8=24,8 ∘C\theta(20) = 20 + 20 \times 0,24 = 20 + 4,8 = 24,8\,^{\circ}\text{C}

Como 24,8<2624,8 < 26, a afirmação está correta.

t (min)

θ(t) calculado (°C)

Comparação com 26°C

0

40

—

10

30

—

20

24,8

24,8 < 26 (Verdadeiro)

  1. 1Modelo de Newtondθ/dt = −k(θ−20)
  2. 2Solução geralθ(t)=20+20e^{−kt}
  3. 3k com θ(10)=30k=0,07 min⁻¹
  4. 4θ(20)=24,8°C< 26°C → Certo
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✅ CERTO.

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