Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce167160

Covariância entre variáveis aleatórias contínuas

❌ ERRADO. A covariância entre U e V é negativa, não positiva. Embora a função de densidade conjunta $f(u,v) = \frac{12}{11}(u^2 + uv + v^2)$ seja simétrica em u e v, o termo $uv$ introduz uma dependência que, ao calcularmos $E[UV] - E[U]E[V]$ , resulta em um valor negativo. O gabarito oficial é Errado.

Para entender por que a covariância é negativa, precisamos calcular os momentos envolvidos. A covariância é definida como:

\text{Cov}(U,V) = E[UV] - E[U]E[V]

Primeiro, vamos determinar a constante $c$ (que na verdade é $\frac{12}{11}$ , já que a função deve integrar a 1 no suporte $0 < u < 1$ e $0 < v < 1$ ). A integral dupla da densidade sobre o quadrado unitário deve ser 1:

\int_0^1 \int_0^1 \frac{12}{11}(u^2 + uv + v^2) \, du \, dv = 1

Calculando a integral interna em $u$ :

\int_0^1 (u^2 + uv + v^2) \, du = \left[ \frac{u^3}{3} + \frac{u^2 v}{2} + u v^2 \right]_0^1 = \frac{1}{3} + \frac{v}{2} + v^2

Agora, integrando em $v$ :

\int_0^1 \left( \frac{1}{3} + \frac{v}{2} + v^2 \right) dv = \left[ \frac{v}{3} + \frac{v^2}{4} + \frac{v^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{4+3+4}{12} = \frac{11}{12}

Multiplicando pela constante $\frac{12}{11}$ , obtemos $\frac{12}{11} \times \frac{11}{12} = 1$ , confirmando que a densidade está bem definida.

Agora, calculamos $E[U]$ , $E[V]$ e $E[UV]$ .

Cálculo de $E[U]$ :

E[U] = \int_0^1 \int_0^1 u \cdot \frac{12}{11}(u^2 + uv + v^2) \, du \, dv

Primeiro, integramos em $u$ :

\int_0^1 u(u^2 + uv + v^2) \, du = \int_0^1 (u^3 + u^2 v + u v^2) \, du = \left[ \frac{u^4}{4} + \frac{u^3 v}{3} + \frac{u^2 v^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{4} + \frac{v}{3} + \frac{v^2}{2}

Agora, integramos em $v$ :

\int_0^1 \left( \frac{1}{4} + \frac{v}{3} + \frac{v^2}{2} \right) dv = \left[ \frac{v}{4} + \frac{v^2}{6} + \frac{v^3}{6} \right]_0^1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+2}{12} = \frac{7}{12}

Portanto, $E[U] = \frac{12}{11} \times \frac{7}{12} = \frac{7}{11}$ .

Cálculo de $E[V]$ :

Por simetria da função de densidade (trocando u por v), $E[V] = E[U] = \frac{7}{11}$ .

Cálculo de $E[UV]$ :

E[UV] = \int_0^1 \int_0^1 uv \cdot \frac{12}{11}(u^2 + uv + v^2) \, du \, dv

Primeiro, integramos em $u$ :

\int_0^1 uv(u^2 + uv + v^2) \, du = \int_0^1 (u^3 v + u^2 v^2 + u v^3) \, du = \left[ \frac{u^4 v}{4} + \frac{u^3 v^2}{3} + \frac{u^2 v^3}{2} \right]_0^1 = \frac{v}{4} + \frac{v^2}{3} + \frac{v^3}{2}

Agora, integramos em $v$ :

\int_0^1 \left( \frac{v}{4} + \frac{v^2}{3} + \frac{v^3}{2} \right) dv = \left[ \frac{v^2}{8} + \frac{v^3}{9} + \frac{v^4}{8} \right]_0^1 = \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{8} = \frac{9+8+9}{72} = \frac{26}{72} = \frac{13}{36}

Portanto, $E[UV] = \frac{12}{11} \times \frac{13}{36} = \frac{13}{33}$ .

Cálculo da covariância:

\text{Cov}(U,V) = E[UV] - E[U]E[V] = \frac{13}{33} - \left( \frac{7}{11} \right)^2 = \frac{13}{33} - \frac{49}{121}

Para subtrair, colocamos sobre o mesmo denominador (mínimo múltiplo comum de 33 e 121 é 363):

\frac{13}{33} = \frac{13 \times 11}{33 \times 11} = \frac{143}{363}

\frac{49}{121} = \frac{49 \times 3}{121 \times 3} = \frac{147}{363}

\text{Cov}(U,V) = \frac{143}{363} - \frac{147}{363} = -\frac{4}{363}

Como $-\frac{4}{363} < 0$ , a covariância é negativa. Portanto, a afirmação de que a covariância é positiva está errada.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a simetria da função de densidade para induzir o candidato a achar que a covariância é zero ou positiva. No entanto, o termo $uv$ na densidade não é suficiente para garantir independência; é preciso calcular $E[UV]$ e comparar com o produto das esperanças. A pegadinha está em não fazer o cálculo completo e confiar na intuição visual da simetria.

1Confirmar densidade (integra a 1)
2Calcular E[U] e E[V]
3Calcular E[UV]
4Cov = E[UV] − E[U]E[V]
5Resultado: −4/363 (negativa)

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Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que a covariância é positiva. Como demonstrado, o cálculo exato resulta em $\text{Cov}(U,V) = -\frac{4}{363}$ , um valor negativo. O erro está em não realizar o cálculo dos momentos e supor que a simetria da densidade implica em covariância nula ou positiva.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa correta é a que afirma que a covariância é negativa. O cálculo detalhado mostra que $E[UV] = \frac{13}{33}$ e $E[U]E[V] = \frac{49}{121}$ , resultando em uma covariância de $-\frac{4}{363}$ , que é negativa. Portanto, a afirmação de que a covariância é positiva está errada.

Gabarito: letra E

Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024

Covariância entre variáveis aleatórias contínuas

Alternativa C — ❌ Incorreta

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO