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Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024

EstatísticaCálculo de Probabilidades
Código
ce167162
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANATEL
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Especialista em Regulação de Serviços Públicos de Telecomunicações – Especialidade: Economia
Julgue o item a seguir, considerando o par de variáveis aleatórias contínuas (U,V), cuja função de densidade conjunta é dada por f(u,v) = 12/11 (u² + uv + v²), em que c é uma constante positiva, 0 < u < 1 e 0 < v < 1, e u e v representam, respectivamente, os suportes de U e V.Os valores esperados de U e de V são iguais a 7/11.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Valor esperado de variáveis aleatórias contínuas com densidade conjunta

Gabarito: letra C (Certo). Para calcular E(U)E(U) e E(V)E(V), precisamos primeiro obter as densidades marginais fU(u)f_U(u) e fV(v)f_V(v) integrando a densidade conjunta em relação à outra variável, e então integrar u⋅fU(u)u \cdot f_U(u) e v⋅fV(v)v \cdot f_V(v) no suporte. O resultado é E(U)=E(V)=7/11E(U) = E(V) = 7/11, confirmando a afirmação.

A questão envolve uma função de densidade conjunta f(u,v)=1211(u2+uv+v2)f(u,v) = \frac{12}{11}(u^2 + uv + v^2) definida no quadrado unitário 0<u<10 < u < 1, 0<v<10 < v < 1. O primeiro passo é verificar que essa função é, de fato, uma densidade conjunta válida, ou seja, que a integral dupla sobre o suporte é igual a 1. Isso é garantido pela constante 1211\frac{12}{11}, que foi calculada para normalizar a função. Em seguida, para encontrar o valor esperado de cada variável, precisamos da densidade marginal correspondente.

A densidade marginal de UU é obtida integrando a conjunta em relação a vv:

fU(u)=∫011211(u2+uv+v2) dv=1211(u2+u2+13)f_U(u) = \int_0^1 \frac{12}{11}(u^2 + uv + v^2) \, dv = \frac{12}{11}\left(u^2 + \frac{u}{2} + \frac{1}{3}\right)

Com isso, o valor esperado de UU é:

E(U)=∫01u⋅fU(u) du=1211∫01(u3+u22+u3)du=1211(14+16+16)=1211⋅712=711E(U) = \int_0^1 u \cdot f_U(u) \, du = \frac{12}{11} \int_0^1 \left(u^3 + \frac{u^2}{2} + \frac{u}{3}\right) du = \frac{12}{11} \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}\right) = \frac{12}{11} \cdot \frac{7}{12} = \frac{7}{11}

Como a densidade conjunta é simétrica em uu e vv (trocando uu por vv a expressão não muda), a densidade marginal de VV tem a mesma forma, e portanto E(V)=7/11E(V) = 7/11 também. A afirmação está correta.

Etapa

Expressão

Resultado

1

∫₀¹ (12/11)(u² + uv + v²) dv

f_U(u) = (12/11)(u² + u/2 + 1/3)

2

∫₀¹ u · f_U(u) du

(12/11) ∫₀¹ (u³ + u²/2 + u/3) du

3

∫₀¹ (u³ + u²/2 + u/3) du

1/4 + 1/6 + 1/6 = 7/12

4

(12/11) · (7/12)

7/11

5

Simetria de f(u,v) em u e v

f_V(v) = (12/11)(v² + v/2 + 1/3)

6

E(V) por simetria

7/11

7

Comparação com a afirmação

E(U) = E(V) = 7/11 → Certo

Alternativa C — ✅ Certo ⟵ GABARITO

O cálculo confirma que E(U)=E(V)=7/11E(U) = E(V) = 7/11. A simetria da função de densidade conjunta em relação a uu e vv garante que as marginais são idênticas, e o valor esperado calculado para UU se aplica igualmente a VV. Portanto, a afirmativa é verdadeira.

Gabarito: letra C (Certo).

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