Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce167163

Variância de uma variável aleatória contínua a partir da densidade conjunta

❌ ERRADO. A variância de V é 0,08, que é menor que 0,1. Portanto, a afirmação de que a variância de V é igual ou superior a 0,1 está incorreta. O cálculo envolve obter a densidade marginal de V, calcular E[V] e E[V²], e aplicar a fórmula Var(V) = E[V²] − (E[V])².

Para resolver, precisamos primeiro encontrar a constante c que normaliza a densidade conjunta. A função dada é f(u,v) = c·(u² + uv + v²) com 0 < u < 1 e 0 < v < 1. A condição de que a integral dupla sobre o suporte seja 1 determina c:

\int_0^1 \int_0^1 c(u^2 + uv + v^2)\,du\,dv = 1

Calculando a integral interna em u:

\int_0^1 (u^2 + uv + v^2)\,du = \left[\frac{u^3}{3} + \frac{u^2 v}{2} + u v^2\right]_0^1 = \frac{1}{3} + \frac{v}{2} + v^2

Integrando em v:

\int_0^1 \left(\frac{1}{3} + \frac{v}{2} + v^2\right) dv = \left[\frac{v}{3} + \frac{v^2}{4} + \frac{v^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{11}{12}

Portanto, c · (11/12) = 1 ⇒ c = 12/11. (O enunciado já fornecia esse valor, mas é importante verificar.)

Agora, a densidade marginal de V é obtida integrando a conjunta em u:

f_V(v) = \int_0^1 \frac{12}{11}(u^2 + uv + v^2)\,du = \frac{12}{11}\left(\frac{1}{3} + \frac{v}{2} + v^2\right)

Calculamos E[V]:

E[V] = \int_0^1 v \cdot f_V(v)\,dv = \frac{12}{11}\int_0^1 \left(\frac{v}{3} + \frac{v^2}{2} + v^3\right) dv = \frac{12}{11}\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4}\right) = \frac{12}{11} \cdot \frac{7}{12} = \frac{7}{11}

E E[V²]:

E[V^2] = \int_0^1 v^2 \cdot f_V(v)\,dv = \frac{12}{11}\int_0^1 \left(\frac{v^2}{3} + \frac{v^3}{2} + v^4\right) dv = \frac{12}{11}\left(\frac{1}{9} + \frac{1}{8} + \frac{1}{5}\right) = \frac{12}{11} \cdot \frac{40+45+72}{360} = \frac{12}{11} \cdot \frac{157}{360} = \frac{157}{330}

Finalmente:

Var(V) = E[V^2] - (E[V])^2 = \frac{157}{330} - \left(\frac{7}{11}\right)^2 = \frac{157}{330} - \frac{49}{121}

Calculando o denominador comum (330·121 = 39930):

Var(V) = \frac{157 \cdot 121 - 49 \cdot 330}{39930} = \frac{18997 - 16170}{39930} = \frac{2827}{39930} \approx 0,0708

Na verdade, refazendo com mais precisão: 2827/39930 = 0,0708... que é menor que 0,1. Portanto, a afirmação está errada.

1Normalizar: achar c
2Marginal f_V(v)
3E[V] = 7/11
4E[V²] = 157/330
5Var(V) ≈ 0,0708

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NÃO CAIA NESSA!

A banca pode tentar confundir o candidato fazendo-o calcular a variância de V como se V fosse uniforme em (0,1), o que daria 1/12 ≈ 0,0833 — ainda menor que 0,1, mas por um caminho errado. Ou pode induzir a usar a densidade conjunta sem obter a marginal, esquecendo de integrar em u. O erro típico é não normalizar corretamente ou trocar E[V²] por (E[V])². Fique atento: a variância correta é aproximadamente 0,0708, e qualquer valor acima de 0,1 já indica erro de cálculo.

Gabarito: letra E (ERRADO).

Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024

Variância de uma variável aleatória contínua a partir da densidade conjunta