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Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024

EstatísticaCálculo de Probabilidades
Código
ce167164
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANATEL
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Especialista em Regulação de Serviços Públicos de Telecomunicações – Especialidade: Economia
Julgue o item a seguir, considerando o par de variáveis aleatórias contínuas (U,V), cuja função de densidade conjunta é dada por f(u,v) = 12/11 (u² + uv + v²), em que c é uma constante positiva, 0 < u < 1 e 0 < v < 1, e u e v representam, respectivamente, os suportes de U e V.P(U > 0,5) ≤ 0,50.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Probabilidade com densidade conjunta: P(U > 0,5)

❌ ERRADO. A probabilidade P(U>0,5)P(U > 0{,}5) é maior que 0,50 — mais precisamente, vale 0,625 —, portanto a afirmação de que ela é ≤ 0,50 é falsa. O cálculo exige integrar a densidade conjunta f(u,v)=1211(u2+uv+v2)f(u,v) = \frac{12}{11}(u^2 + uv + v^2) sobre a região u>0,5u > 0{,}5 e 0<v<10 < v < 1, e o resultado supera o limiar de 0,50.

Para resolver, precisamos primeiro garantir que ff é uma função de densidade conjunta válida, ou seja, que a integral dupla sobre o quadrado 0<u<10<u<1, 0<v<10<v<1 é igual a 1. Vamos calcular:

∫01∫011211(u2+uv+v2) du dv=1211(∫01∫01u2 du dv+∫01∫01uv du dv+∫01∫01v2 du dv)\int_0^1 \int_0^1 \frac{12}{11}(u^2 + uv + v^2)\, du\, dv = \frac{12}{11} \left( \int_0^1 \int_0^1 u^2\, du\, dv + \int_0^1 \int_0^1 uv\, du\, dv + \int_0^1 \int_0^1 v^2\, du\, dv \right)

Calculando cada integral:

  • ∫01∫01u2 du dv=∫01[u33]01dv=∫0113 dv=13\int_0^1 \int_0^1 u^2\, du\, dv = \int_0^1 \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 dv = \int_0^1 \frac{1}{3}\, dv = \frac{1}{3}

  • ∫01∫01uv du dv=∫01[u22]01v dv=∫01v2 dv=[v24]01=14\int_0^1 \int_0^1 uv\, du\, dv = \int_0^1 \left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^1 v\, dv = \int_0^1 \frac{v}{2}\, dv = \left[ \frac{v^2}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4}

  • ∫01∫01v2 du dv=∫01v2(∫01du)dv=∫01v2 dv=[v33]01=13\int_0^1 \int_0^1 v^2\, du\, dv = \int_0^1 v^2 \left( \int_0^1 du \right) dv = \int_0^1 v^2\, dv = \left[ \frac{v^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}

Somando: 13+14+13=412+312+412=1112\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{11}{12}. Multiplicando por 1211\frac{12}{11}, obtemos exatamente 1. A constante está correta e a densidade é válida.

Agora, a probabilidade pedida é a integral dupla sobre a região u>0,5u > 0{,}5 (com 0<v<10<v<1):

P(U>0,5)=∫01∫0,511211(u2+uv+v2) du dvP(U > 0{,}5) = \int_{0}^{1} \int_{0{,}5}^{1} \frac{12}{11}(u^2 + uv + v^2)\, du\, dv

Integrando em uu primeiro:

∫0,51(u2+uv+v2) du=[u33+u2v2+uv2]0,51\int_{0{,}5}^{1} (u^2 + uv + v^2)\, du = \left[ \frac{u^3}{3} + \frac{u^2 v}{2} + u v^2 \right]_{0{,}5}^{1}

Avaliando em u=1u=1: 13+v2+v2\frac{1}{3} + \frac{v}{2} + v^2.

Avaliando em u=0,5u=0{,}5: 0,1253+0,25v2+0,5v2=124+v8+v22\frac{0{,}125}{3} + \frac{0{,}25 v}{2} + 0{,}5 v^2 = \frac{1}{24} + \frac{v}{8} + \frac{v^2}{2}.

Subtraindo:

(13+v2+v2)−(124+v8+v22)=13−124+v2−v8+v2−v22=724+3v8+v22\left( \frac{1}{3} + \frac{v}{2} + v^2 \right) - \left( \frac{1}{24} + \frac{v}{8} + \frac{v^2}{2} \right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{24} + \frac{v}{2} - \frac{v}{8} + v^2 - \frac{v^2}{2} = \frac{7}{24} + \frac{3v}{8} + \frac{v^2}{2}

Agora integramos em vv de 0 a 1:

∫01(724+3v8+v22)dv=724+316+16\int_0^1 \left( \frac{7}{24} + \frac{3v}{8} + \frac{v^2}{2} \right) dv = \frac{7}{24} + \frac{3}{16} + \frac{1}{6}

Colocando no mesmo denominador (48): 1448+948+848=3148\frac{14}{48} + \frac{9}{48} + \frac{8}{48} = \frac{31}{48}.

Multiplicando pela constante 1211\frac{12}{11}:

P(U>0,5)=1211×3148=3144≈0,7045P(U > 0{,}5) = \frac{12}{11} \times \frac{31}{48} = \frac{31}{44} \approx 0{,}7045

Esse valor é claramente maior que 0,50. Portanto, a afirmação "P(U > 0,5) ≤ 0,50" é falsa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer o candidato acreditar que, por simetria ou por intuição, a probabilidade de U ultrapassar a metade do suporte seria 0,50 — como ocorreria se U fosse uniforme. Mas a densidade conjunta não é uniforme: ela dá mais peso a valores maiores de uu e vv (os termos u2u^2 e v2v^2 crescem com o quadrado), o que empurra a probabilidade para cima de 0,50. O erro típico é não integrar e "chutar" 0,50.

Caso

Atribuição

Resultado

Hipótese da banca (simetria/uniforme)

P(U > 0,5) = 0,50

Inviável — densidade não é uniforme

Cálculo exato da integral

P(U > 0,5) = 31/44 ≈ 0,7045

Contradição com P ≤ 0,50

Afirmação do item

P(U > 0,5) ≤ 0,50

Falsa — 0,7045 > 0,50

Alternativa E (gabarito)

P(U > 0,5) > 0,50

Consistente — 0,7045 > 0,50

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C afirma que P(U>0,5)≤0,50P(U > 0{,}5) \le 0{,}50. Como calculamos, P(U>0,5)=3144≈0,7045P(U > 0{,}5) = \frac{31}{44} \approx 0{,}7045, que é maior que 0,50. Portanto, a afirmação é falsa. O erro está em subestimar a probabilidade, ignorando o efeito da densidade não uniforme.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa E nega a afirmação, e está correta: P(U>0,5)P(U > 0{,}5) não é ≤ 0,50. O valor exato é 3144\frac{31}{44}, aproximadamente 0,7045, o que invalida a proposição. O gabarito é a letra E.

Gabarito: letra E

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