Questão de Estatística — Análise de séries temporais — CESPE / CEBRASPE 2024

Autocorrelação em processo ARMA(1,1)

Gabarito: letra E (ERRADO). A autocorrelação entre $Y_t$ e $Y_{t-1}$ em um processo ARMA(1,1) não é simplesmente o coeficiente autorregressivo $\phi$; ela é dada pela fórmula $\rho_1 = \frac{(\phi - \theta)(1 - \phi\theta)}{1 - 2\phi\theta + \phi^2}$. Substituindo $\phi = 0,45$ e $\theta = 0,45$, obtém-se $\rho_1 = 0$, e não $0,45$. O valor $0,45$ é o coeficiente do termo autorregressivo, não a autocorrelação.

A questão cobra a distinção entre o coeficiente de um modelo ARMA e a função de autocorrelação (FAC) do processo. No modelo ARMA(1,1) dado por $Y_t = \delta + \phi Y_{t-1} + \varepsilon_t - \theta \varepsilon_{t-1}$, a autocorrelação de defasagem 1 ($\rho_1$) é uma função tanto de $\phi$ quanto de $\theta$. A fórmula geral para $\rho_1$ em um ARMA(1,1) é:

Neste caso, $\phi = 0,45$ e $\theta = 0,45$. Como $\phi = \theta$, o numerador da fração é zero, resultando em $\rho_1 = 0$. Isso significa que, apesar de o processo ter um componente autorregressivo, a autocorrelação de primeira ordem é nula. A banca explora a confusão entre o parâmetro do modelo e a medida de autocorrelação, que são conceitos distintos.

Item — ❌ ERRADO

A afirmação de que a autocorrelação entre $Y_t$ e $Y_{t-1}$ é igual a $0,45$ está incorreta. O valor $0,45$ é o coeficiente autorregressivo $\phi$ e também o coeficiente de médias móveis $\theta$. No entanto, a autocorrelação de defasagem 1 para um ARMA(1,1) é calculada pela fórmula específica, que, com $\phi = \theta = 0,45$, resulta em:

Portanto, a autocorrelação é nula, não $0,45$. A pegadinha está em assumir que a autocorrelação é igual ao coeficiente autorregressivo, o que só ocorre em um processo AR(1) puro, onde $\rho_1 = \phi$. Em um ARMA(1,1), a presença do termo de médias móveis altera a autocorrelação.

Gabarito: letra E (ERRADO).