Questão de Estatística — Análise de séries temporais — CESPE / CEBRASPE 2024

Média de um processo ARMA(1,1) estacionário

✅ CERTO. Em um processo ARMA(1,1) estacionário sem termo constante (intercepto), a média é zero. Como a equação dada é $Y_t = 0{,}45Y_{t-1} + \varepsilon_t - 0{,}45\varepsilon_{t-1}$ e $E(\varepsilon_t) = 0$, tomando a esperança de ambos os lados obtemos $E(Y_t) = 0{,}45E(Y_{t-1})$, e a estacionariedade garante $E(Y_t) = E(Y_{t-1}) = \mu$, o que força $\mu = 0$.

A média de um processo ARMA é obtida aplicando o operador esperança à equação do modelo. Para um ARMA(1,1) genérico $Y_t = \delta + \phi Y_{t-1} + \varepsilon_t - \theta\varepsilon_{t-1}$, com $E(\varepsilon_t) = 0$, temos:

Como o ruído branco tem média zero, $E(\varepsilon_t) = E(\varepsilon_{t-1}) = 0$. Se o processo é estacionário, a média é constante no tempo, isto é, $E(Y_t) = E(Y_{t-1}) = \mu$. Substituindo:

No modelo da questão, não há termo constante ($\delta = 0$), e o coeficiente autorregressivo é $\phi = 0{,}45$. Portanto:

A estacionariedade é condição essencial para essa conclusão: ela garante que a média não depende do tempo. Para um AR(1), a estacionariedade exige $|\phi| < 1$, o que é satisfeito aqui ($0{,}45 < 1$). O coeficiente de médias móveis $\theta = 0{,}45$ não afeta a média do processo — ele influencia apenas a estrutura de autocorrelação e a variância, não o nível médio.

Gabarito: letra C (Certo).