Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce167167

Variância de um processo ARMA(1,1)

❌ ERRADO. A variância de $Y_t$ não é igual a 10. Para o processo ARMA(1,1) dado, $Y_t = 0,45Y_{t-1} + \varepsilon_t - 0,45\varepsilon_{t-1}$ , com $Var(\varepsilon_t) = 10$ , a variância estacionária é dada por $Var(Y_t) = \frac{1 + \theta^2 - 2\phi\theta}{1 - \phi^2} \sigma^2_\varepsilon$ . Substituindo $\phi = 0,45$ , $\theta = 0,45$ e $\sigma^2_\varepsilon = 10$ , obtemos $Var(Y_t) = \frac{1 + 0,2025 - 2 \times 0,45 \times 0,45}{1 - 0,2025} \times 10 = \frac{1 + 0,2025 - 0,405}{0,7975} \times 10 = \frac{0,7975}{0,7975} \times 10 = 10$ . Portanto, a variância é 10, e o item está certo.

A questão cobra o cálculo da variância de um processo ARMA(1,1) estacionário. A fórmula geral para a variância de um ARMA(1,1) é:

Var(Y_t) = \frac{1 + \theta^2 - 2\phi\theta}{1 - \phi^2} \sigma^2_\varepsilon

onde $\phi$ é o coeficiente autorregressivo, $\theta$ é o coeficiente de médias móveis e $\sigma^2_\varepsilon$ é a variância do ruído branco. Esta fórmula é derivada da aplicação do operador de variância na representação do processo, considerando a estacionariedade (ou seja, $Var(Y_t) = Var(Y_{t-1})$ ).

Aplicando os valores do enunciado ( $\phi = 0,45$ , $\theta = 0,45$ , $\sigma^2_\varepsilon = 10$ ):

Calculamos o numerador: $1 + \theta^2 - 2\phi\theta = 1 + (0,45)^2 - 2 \times 0,45 \times 0,45 = 1 + 0,2025 - 0,405 = 0,7975$ .
Calculamos o denominador: $1 - \phi^2 = 1 - (0,45)^2 = 1 - 0,2025 = 0,7975$ .
A fração é $\frac{0,7975}{0,7975} = 1$ .
Multiplicando pela variância do ruído: $1 \times 10 = 10$ .

Portanto, a variância de $Y_t$ é exatamente 10, o que torna a afirmação correta.

Parâmetro	Valor	Cálculo	Resultado
φ (autorregressivo)	0,45	—	0,45
θ (médias móveis)	0,45	—	0,45
σ²ε (variância do ruído)	10	—	10
Numerador da fórmula	—	1 + θ² − 2φθ = 1 + 0,2025 − 0,405	0,7975
Denominador da fórmula	—	1 − φ² = 1 − 0,2025	0,7975
Fator multiplicativo	—	0,7975 / 0,7975	1
Variância de Yt	—	1 × 10	10
Conclusão	—	Var(Yt) = 10	Certo

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode tentar confundir o candidato fazendo-o acreditar que a variância do processo é simplesmente a variância do ruído ( $\sigma^2_\varepsilon = 10$ ), sem considerar o efeito dos parâmetros $\phi$ e $\theta$ . No entanto, a fórmula completa mostra que, neste caso específico, o fator multiplicativo é 1, então o resultado coincide com $\sigma^2_\varepsilon$ . É uma coincidência numérica que pode levar a um falso positivo: o candidato que acerta pelo raciocínio correto, mas também o que erra por achar que a variância é sempre igual à do ruído. A dica é: sempre use a fórmula geral para ARMA(1,1) e não presuma que a variância do processo é igual à do erro, a menos que os parâmetros se cancelem.

✅ CERTO.

Gabarito: letra C

Questão de Estatística — Análise de séries temporais — CESPE / CEBRASPE 2024

Variância de um processo ARMA(1,1)