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Questão de Estatística — Análise de séries temporais — CESPE / CEBRASPE 2024

EstatísticaAnálise de séries temporais
Código
ce167168
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANATEL
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Especialista em Regulação de Serviços Públicos de Telecomunicações – Especialidade: Economia
Julgue os próximos itens, considerando uma série temporal {Yt} gerada por um processo ARMA(1,1) estacionário representado pela equação Yt= 0,45Yt-₁ + ∈t − 0,45∈t-₁, em que {∈t } constitui uma série temporal de ruídos aleatórios independentes com médias iguais a zero e variâncias iguais a 10, com t ∈ ℤ.Se a série temporal observada for constituída pelos valores 0, 2, −1, −2, 2, então, com base nesses cinco valores, segundo o modelo ARMA(1,1) em tela e o preditor linear, o valor previsto para a sexta observação será 0,1.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Previsão em modelo ARMA(1,1)

❌ ERRADO. O valor previsto para a sexta observação não é 0,1. Para um processo ARMA(1,1) da forma Yt=ϕYt−1+εt−θεt−1Y_t = \phi Y_{t-1} + \varepsilon_t - \theta \varepsilon_{t-1}, o preditor linear ótimo de Yt+1Y_{t+1} dado o passado é Y^t+1=ϕYt−θε^t\hat{Y}_{t+1} = \phi Y_t - \theta \hat{\varepsilon}_t, onde ε^t\hat{\varepsilon}_t é o resíduo estimado no instante tt. Aplicando recursivamente com os valores observados, obtém-se uma previsão diferente de 0,1.

O modelo ARMA(1,1) combina um componente autorregressivo (AR) e um de médias móveis (MA). A equação dada é Yt=0,45Yt−1+εt−0,45εt−1Y_t = 0,45Y_{t-1} + \varepsilon_t - 0,45\varepsilon_{t-1}, com ϕ=0,45\phi = 0,45 e θ=0,45\theta = 0,45. Para prever Y6Y_6 a partir de Y1,…,Y5Y_1, \dots, Y_5, precisamos estimar os resíduos εt\varepsilon_t recursivamente. Como εt\varepsilon_t não é observado, usamos a própria equação do modelo para calculá-lo: εt=Yt−0,45Yt−1+0,45εt−1\varepsilon_t = Y_t - 0,45Y_{t-1} + 0,45\varepsilon_{t-1}. Assumindo ε1=0\varepsilon_1 = 0 (ou usando a esperança condicional), obtemos:

  • ε2=Y2−0,45Y1+0,45ε1=2−0,45(0)+0=2\varepsilon_2 = Y_2 - 0,45Y_1 + 0,45\varepsilon_1 = 2 - 0,45(0) + 0 = 2

  • ε3=Y3−0,45Y2+0,45ε2=−1−0,45(2)+0,45(2)=−1\varepsilon_3 = Y_3 - 0,45Y_2 + 0,45\varepsilon_2 = -1 - 0,45(2) + 0,45(2) = -1

  • ε4=Y4−0,45Y3+0,45ε3=−2−0,45(−1)+0,45(−1)=−2\varepsilon_4 = Y_4 - 0,45Y_3 + 0,45\varepsilon_3 = -2 - 0,45(-1) + 0,45(-1) = -2

  • ε5=Y5−0,45Y4+0,45ε4=2−0,45(−2)+0,45(−2)=2\varepsilon_5 = Y_5 - 0,45Y_4 + 0,45\varepsilon_4 = 2 - 0,45(-2) + 0,45(-2) = 2

A previsão de Y6Y_6 é Y^6=0,45Y5−0,45ε5=0,45(2)−0,45(2)=0\hat{Y}_6 = 0,45Y_5 - 0,45\varepsilon_5 = 0,45(2) - 0,45(2) = 0. Portanto, o valor previsto é 0, e não 0,1.

A pegadinha está em não considerar o termo de médias móveis: muitos candidatos calculariam apenas 0,45×Y5=0,90,45 \times Y_5 = 0,9, ignorando o ajuste pelo resíduo. O preditor linear ótimo para um ARMA(1,1) é Y^t+1=ϕYt−θε^t\hat{Y}_{t+1} = \phi Y_t - \theta \hat{\varepsilon}_t, e é exatamente esse termo que faz a diferença.

Passo

Cálculo do resíduo εₜ

Valor de εₜ

Previsão Ŷₜ₊₁

t=1

ε₁ = 0 (assumido)

0

—

t=2

ε₂ = Y₂ − 0,45Y₁ + 0,45ε₁ = 2 − 0 + 0

2

—

t=3

ε₃ = Y₃ − 0,45Y₂ + 0,45ε₂ = −1 − 0,9 + 0,9

−1

—

t=4

ε₄ = Y₄ − 0,45Y₃ + 0,45ε₃ = −2 + 0,45 − 0,45

−2

—

t=5

ε₅ = Y₅ − 0,45Y₄ + 0,45ε₄ = 2 + 0,9 − 0,9

2

—

t=6

Ŷ₆ = 0,45Y₅ − 0,45ε₅ = 0,45(2) − 0,45(2)

—

0

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o modelo AR(1) e o ARMA(1,1). No AR(1), a previsão seria ϕYt\phi Y_t; no ARMA(1,1), é preciso subtrair θε^t\theta \hat{\varepsilon}_t. Quem ignora o componente MA chega a 0,9, mas o correto é 0. Fique atento: sempre que houver termo de médias móveis, o resíduo estimado entra na previsão.

❌ ERRADO. O valor previsto para a sexta observação é 0, e não 0,1.

Gabarito: letra E

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