Questão de Matemática — Funções — CESPE / CEBRASPE 2024

Função de produção Cobb-Douglas e custo de curto prazo

Gabarito: CERTO. Com o capital fixado em $K_0 = 2025$, a função de produção $x = \sqrt{KL}$ permite isolar o trabalho como $L = \frac{x^2}{K_0}$, e o custo total $C = rK_0 + wL$ torna-se $C = 0,16 \cdot 2025 + 100 \cdot \frac{x^2}{2025} = 324 + \frac{100}{2025}x^2$, que é uma função quadrática da produção $x$ (coeficiente de $x^2$ positivo e não nulo).

A questão envolve a relação entre a função de produção e a função custo no curto prazo. No curto prazo, pelo menos um fator é fixo — aqui, o capital $K_0$. O custo total é a soma do custo fixo (capital) com o custo variável (trabalho): $C = rK + wL$. Como $K$ é constante, o custo fixo é constante, e o custo variável depende de $L$, que por sua vez depende da produção $x$ através da função de produção.

A função de produção dada é $x = \sqrt{KL}$. Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos $x^2 = KL$. Com $K = K_0 = 2025$, temos $x^2 = 2025 \cdot L$, logo $L = \frac{x^2}{2025}$. Substituindo na expressão do custo total:

A expressão $C(x) = 324 + \frac{100}{2025}x^2$ é um polinômio do segundo grau em $x$, com coeficiente líder $\frac{100}{2025} \neq 0$. Portanto, é uma função quadrática da produção. A afirmativa está correta.

A pegadinha aqui é confundir a forma da função de produção (que é uma raiz quadrada, portanto não quadrática) com a forma da função custo derivada dela. No curto prazo, a relação entre custo e produção frequentemente se torna quadrática quando a função de produção é do tipo raiz quadrada, pois o trabalho varia com o quadrado da produção.

Item — ✅ CERTO

A afirmativa diz que, com capital fixado em $K_0 = 2025$, o custo $C$ é função quadrática da produção $x$. Como demonstrado, isolando $L$ da função de produção e substituindo no custo total, obtemos $C(x) = 324 + \frac{100}{2025}x^2$, que é uma função quadrática (grau 2). O coeficiente de $x^2$ é positivo e não nulo, confirmando a natureza quadrática. Portanto, o item está CERTO.

Gabarito: CERTO.