Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce167657

Independência e exclusão mútua de eventos

❌ ERRADO. A afirmação de que $E_1 \subset E_2$ é falsa sob as condições dadas. Se $E_1$ e $E_2$ são mutuamente independentes e $0 < P(E_1) < 1$ , a inclusão $E_1 \subset E_2$ implicaria $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1)$ , o que, pela definição de independência, forçaria $P(E_1) = P(E_1)P(E_2)$ , ou seja, $P(E_2) = 1$ — contradizendo a hipótese de que $0 < P(E_2) < 1$ . Portanto, a relação de inclusão não pode ocorrer.

O conceito central aqui é a independência de eventos. Dois eventos $A$ e $B$ são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro, o que é formalmente expresso por:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Essa é a definição canônica, e é dela que partimos para analisar a afirmação. A independência é uma propriedade multiplicativa — ela relaciona a probabilidade da interseção com o produto das probabilidades individuais. Já a inclusão ( $A \subset B$ ) é uma relação estrutural entre os conjuntos: todos os elementos de $A$ estão em $B$ , o que implica $P(A \cap B) = P(A)$ .

A pegadinha da questão está em tentar combinar essas duas propriedades de forma intuitiva, mas incorreta. Muitos candidatos podem pensar: "se $E_1$ está contido em $E_2$ , então a ocorrência de $E_1$ implica a de $E_2$ , logo eles não são independentes" — e isso está certo, mas a questão afirma que eles são independentes. A contradição surge exatamente daí.

Vamos demonstrar formalmente por que a inclusão é impossível:

Hipótese de independência: $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \cdot P(E_2)$ .
Hipótese de inclusão: $E_1 \subset E_2 \Rightarrow E_1 \cap E_2 = E_1 \Rightarrow P(E_1 \cap E_2) = P(E_1)$ .
Igualando as duas expressões: $P(E_1) = P(E_1) \cdot P(E_2)$ .
Como $P(E_1) > 0$ (dado no enunciado), podemos dividir ambos os lados por $P(E_1)$ , obtendo $1 = P(E_2)$ .
Contradição: o enunciado afirma que $0 < P(E_2) < 1$ , logo $P(E_2) \neq 1$ .

Portanto, a suposição de que $E_1 \subset E_2$ leva a uma contradição com as premissas. A afirmação é falsa.

Caso	Atribuição	Resultado
1	(P(E_1)>0), (P(E_2)<1), (E_1 \subset E_2)	Contradição
2	(P(E_1)>0), (P(E_2)<1), (E_1 \not\subset E_2)	Consistente

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre independência e exclusão mútua. Eventos independentes podem ocorrer juntos (a interseção tem probabilidade positiva), enquanto eventos mutuamente excludentes não podem ocorrer juntos (interseção vazia). Aqui, a inclusão $E_1 \subset E_2$ faria com que a ocorrência de $E_1$ implicasse a de $E_2$ , o que violaria a independência — pois o conhecimento de que $E_1$ ocorreu mudaria a probabilidade de $E_2$ (que passaria a ser 1). Fique atento: independência não é o mesmo que exclusão, e inclusão é incompatível com independência quando as probabilidades são estritamente entre 0 e 1.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões que envolvem independência e inclusão, sempre escreva a definição de independência ( $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ ) e a consequência da inclusão ( $P(A \cap B) = P(A)$ ). Iguale as duas e veja se há contradição com as probabilidades dadas. Esse método resolve a maioria dos problemas do tipo.

Gabarito: letra E (ERRADO).

Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024

Independência e exclusão mútua de eventos