Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024
Estatística›Cálculo de Probabilidades
Código
ce167658
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANTT
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Especialista em Regulação de Serviços de Transportes Terrestres – Especialidade: Economia - Conhecimentos Específicos
Julgue os itens a seguir, considerando que E₁ e E₂ sejam eventos mutuamente independentes e que E₁ e E₃ sejam eventos mutuamente excludentes, de maneira que 0 < P(Ek) < 1 para todo k ∈ { 1, 2, 3, 4}.Se P(E₃) = 0,4, então P(E₁) ≤ 0,6.
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EErrado
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GabaritoC — Certo
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Eventos mutuamente excludentes e a limitação da probabilidade
Gabarito: letra C (CERTO). Se E₁ e E₃ são mutuamente excludentes, então a interseção entre eles é vazia, ou seja, P(E₁ ∩ E₃) = 0. Como a probabilidade da união de dois eventos é P(E₁ ∪ E₃) = P(E₁) + P(E₃) − P(E₁ ∩ E₃), e a probabilidade da união não pode exceder 1, temos P(E₁) + P(E₃) ≤ 1. Com P(E₃) = 0,4, segue que P(E₁) ≤ 0,6. Portanto, a afirmação está correta.
A questão explora dois conceitos fundamentais da teoria da probabilidade: eventos mutuamente excludentes (ou mutuamente exclusivos) e eventos independentes. Eventos mutuamente excludentes são aqueles que não podem ocorrer simultaneamente — a ocorrência de um exclui a do outro. Formalmente, E₁ ∩ E₃ = ∅, logo P(E₁ ∩ E₃) = 0. Já eventos independentes são aqueles em que a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro, o que se traduz em P(E₁ ∩ E₂) = P(E₁) · P(E₂). A independência entre E₁ e E₂ é uma informação que não interfere na relação entre E₁ e E₃, pois a excludência entre E₁ e E₃ é uma propriedade dos próprios eventos, independente de qualquer outro evento.
A chave para resolver a questão é aplicar a propriedade da probabilidade da união. Para quaisquer dois eventos A e B, vale:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Como E₁ e E₃ são mutuamente excludentes, P(E₁ ∩ E₃) = 0, então:
P(E₁ ∪ E₃) = P(E₁) + P(E₃)
Como a probabilidade de qualquer evento está entre 0 e 1, temos P(E₁ ∪ E₃) ≤ 1. Portanto:
P(E₁) + P(E₃) ≤ 1
Substituindo P(E₃) = 0,4:
P(E₁) + 0,4 ≤ 1 ⟹ P(E₁) ≤ 0,6
Assim, a afirmação "Se P(E₃) = 0,4, então P(E₁) ≤ 0,6" é verdadeira.
Probabilidade de eventos — só Evento E1: P(E1); só Evento E3: 0,4; Evento E1∩Evento E3: 0
NÃO CAIA NESSA!
A banca pode tentar confundir o candidato misturando os conceitos de independência e excludência. A independência entre E₁ e E₂ é um dado irrelevante para a relação entre E₁ e E₃. O que importa é que E₁ e E₃ são mutuamente excludentes, o que garante P(E₁ ∩ E₃) = 0. Não caia na tentação de usar a fórmula da independência (P(E₁ ∩ E₃) = P(E₁) · P(E₃)) para eventos excludentes — isso só vale para eventos independentes, e excludência e independência são propriedades distintas. Aqui, a excludência é a informação decisiva.