Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024

Probabilidade com reposição: distribuição binomial

Gabarito: letra E (ERRADO). A probabilidade de haver exatamente uma esfera de aço comum em três retiradas com reposição é 0,288, e não 0,144. O cálculo segue a distribuição binomial: $P(X=1) = \binom{3}{1} \cdot (0,4)^1 \cdot (0,6)^2 = 3 \cdot 0,4 \cdot 0,36 = 0,432$ — espere, vamos refazer com calma: $3 \times 0,4 \times 0,36 = 0,432$. O valor 0,144 corresponde a $0,4 \times 0,6 \times 0,6 = 0,144$, que é a probabilidade de uma ordem específica (por exemplo, comum–inox–inox), sem multiplicar pelas 3 ordens possíveis. A banca explora exatamente esse erro: esquecer o coeficiente binomial.

A questão envolve amostragem com reposição, o que garante que cada retirada é independente e a probabilidade de sucesso (sair aço comum) permanece constante em $p = 4/10 = 0,4$. O número de esferas de aço comum na amostra de tamanho $n=3$ segue uma distribuição binomial com parâmetros $n=3$ e $p=0,4$. A probabilidade de exatamente $k=1$ sucesso é dada pela fórmula:

Substituindo:

Portanto, a probabilidade correta é 0,432, não 0,144. O valor 0,144 é obtido se o candidato calcula apenas $0,4 \times 0,6 \times 0,6 = 0,144$, ignorando que a esfera comum pode aparecer em qualquer uma das três posições (primeira, segunda ou terceira retirada). Como há 3 ordens possíveis, multiplica-se por 3: $0,144 \times 3 = 0,432$.

Alternativa E — ❌ Errada (gabarito)

A afirmativa está errada porque o valor correto é 0,432, e não 0,144. O erro típico é calcular apenas $0,4 \times 0,6 \times 0,6 = 0,144$, desconsiderando as 3 posições possíveis para a esfera comum. A fórmula binomial corrige isso:

Gabarito: letra E (ERRADO).