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Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2024

EstatísticaInferência estatística
Código
ce167692
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANTT
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Especialista em Regulação de Serviços de Transportes Terrestres – Especialidade: Economia - Conhecimentos Específicos
Considerando Φ-¹(0,95) = 1,65 e Φ-¹(0,975) = 1,96, julgue o item a seguir, relativo à inferência estatística.Considere que X₁ = 1, X₂ = 2 e X₃ = 4 sejam amostras que satisfazem à condição de que Xi ~ binomial (5, θ), para i = 1, 2, 3. Nessa situação, a função de verossimilhança para estimação do parâmetro θ é dada por ℒ(θ | 1, 2, 4) = 50.θ⁷ (1 − θ)⁸ .
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Função de verossimilhança para a distribuição binomial

Gabarito: letra E (ERRADO). A função de verossimilhança para a amostra X1=1X_1 = 1, X2=2X_2 = 2 e X3=4X_3 = 4, com Xi∼Binomial(5,θ)X_i \sim \text{Binomial}(5, \theta), é L(θ∣1,2,4)=(51)(52)(54)⋅θ7(1−θ)8=5⋅10⋅5⋅θ7(1−θ)8=250⋅θ7(1−θ)8\mathcal{L}(\theta | 1, 2, 4) = \binom{5}{1}\binom{5}{2}\binom{5}{4} \cdot \theta^{7}(1-\theta)^{8} = 5 \cdot 10 \cdot 5 \cdot \theta^{7}(1-\theta)^{8} = 250 \cdot \theta^{7}(1-\theta)^{8}. O item afirma que o coeficiente é 50, mas o correto é 250, pois o coeficiente binomial de cada observação deve ser incluído no cálculo.

A função de verossimilhança é a probabilidade conjunta de observar a amostra, vista como função do parâmetro desconhecido θ\theta. Para uma amostra aleatória simples de variáveis independentes, a verossimilhança é o produto das funções de probabilidade individuais. No caso da distribuição binomial, cada observação Xi=xiX_i = x_i contribui com o termo (5xi)θxi(1−θ)5−xi\binom{5}{x_i} \theta^{x_i} (1-\theta)^{5-x_i}.

Assim, para a amostra dada, temos:

L(θ∣1,2,4)=∏i=13(5xi)θxi(1−θ)5−xi\mathcal{L}(\theta | 1, 2, 4) = \prod_{i=1}^{3} \binom{5}{x_i} \theta^{x_i} (1-\theta)^{5-x_i}

Substituindo os valores observados:

L(θ∣1,2,4)=(51)θ1(1−θ)4⋅(52)θ2(1−θ)3⋅(54)θ4(1−θ)1\mathcal{L}(\theta | 1, 2, 4) = \binom{5}{1} \theta^{1} (1-\theta)^{4} \cdot \binom{5}{2} \theta^{2} (1-\theta)^{3} \cdot \binom{5}{4} \theta^{4} (1-\theta)^{1}

Agrupando os termos com θ\theta e (1−θ)(1-\theta):

L(θ∣1,2,4)=[(51)(52)(54)]⋅θ1+2+4(1−θ)4+3+1\mathcal{L}(\theta | 1, 2, 4) = \left[ \binom{5}{1} \binom{5}{2} \binom{5}{4} \right] \cdot \theta^{1+2+4} (1-\theta)^{4+3+1}

Calculando os coeficientes binomiais:

  • (51)=5\binom{5}{1} = 5

  • (52)=10\binom{5}{2} = 10

  • (54)=5\binom{5}{4} = 5

Portanto, o produto dos coeficientes é 5×10×5=2505 \times 10 \times 5 = 250, e a função de verossimilhança é:

L(θ∣1,2,4)=250⋅θ7(1−θ)8\mathcal{L}(\theta | 1, 2, 4) = 250 \cdot \theta^{7} (1-\theta)^{8}

O item apresentou o coeficiente 50, que é o produto apenas de (51)\binom{5}{1} e (52)\binom{5}{2} (ou outra combinação), mas omitiu o terceiro coeficiente binomial. A forma funcional com os expoentes θ7(1−θ)8\theta^{7}(1-\theta)^{8} está correta, mas o coeficiente multiplicativo está errado.

  1. 1Produto das probabilidades
  2. 2Incluir coeficientes binomiais
  3. 3Agrupar expoentes
  4. 4Coeficiente = 250
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NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a pressa do candidato em agrupar os expoentes de θ\theta e (1−θ)(1-\theta) e esquecer de multiplicar pelos coeficientes binomiais. Muitos alunos, ao verem θ7(1−θ)8\theta^{7}(1-\theta)^{8}, já assumem que a expressão está correta, sem verificar o fator constante. Lembre-se: a verossimilhança é o produto das probabilidades individuais, e cada uma inclui seu coeficiente binomial. Com atenção a esse detalhe, você evita o erro.

✅ CERTO se o coeficiente fosse 250; ❌ ERRADO como está, pois o coeficiente é 250, não 50.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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