Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2024

Estimadores não viesados e a esperança da soma

❌ ERRADO. A afirmação está incorreta porque a não viés de $\Theta' = \Theta + T$ depende da esperança de $T$: para que $\Theta'$ seja não viesado, é necessário que $E(T) = 0$. Como o enunciado diz que $T$ é uma variável aleatória qualquer, não há garantia de que sua esperança seja nula, e portanto $\Theta'$ pode ser viesado. A propriedade de não viés exige que a esperança do estimador seja igual ao parâmetro, e a soma com uma variável de média não nula desloca essa esperança.

Um estimador é dito não viesado (ou não viciado, não tendencioso) quando sua esperança é igual ao parâmetro que se deseja estimar: $E(\Theta) = \theta$. Essa é a definição central da propriedade. No caso da média amostral, por exemplo, $E(\bar{X}) = \mu$, o que a torna um estimador não viesado da média populacional. O viés de um estimador é definido como a diferença $E(\Theta) - \theta$; quando essa diferença é zero, o estimador é não viesado.

A questão explora exatamente essa definição. Se $\Theta$ é não viesado, então $E(\Theta) = \theta$. Para $\Theta' = \Theta + T$, temos:

Para que $\Theta'$ seja não viesado, precisamos que $E(\Theta') = \theta$, o que só ocorre se $E(T) = 0$. Como o enunciado afirma que $T$ é uma variável aleatória qualquer, não há garantia de que $E(T) = 0$. Portanto, a afirmação é falsa.

A pegadinha está em supor que a soma de um estimador não viesado com qualquer variável preserva a não viés. Isso só é verdade se a variável adicionada tiver esperança nula. A banca explora justamente essa confusão: o candidato pode pensar que a propriedade é "hereditária" para qualquer transformação, mas a linearidade da esperança exige a condição sobre $E(T)$.

❌ ERRADO.

Gabarito: letra E (ERRADO).