Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024

Valor esperado de uma transformação linear de variável geométrica

Gabarito: letra E (ERRADO). A afirmação está incorreta porque, para uma variável aleatória geométrica $X$ com parâmetro $p = 1/3$, o valor esperado é $E[X] = 1/p = 3$. Pela linearidade da esperança, $E[Y] = E[\frac{1}{5}X] = \frac{1}{5}E[X] = \frac{1}{5} \times 3 = \frac{3}{5}$, e não $\frac{1}{15}$ como afirma o item.

A questão cobra dois conceitos fundamentais de probabilidade: a esperança de uma variável geométrica e a linearidade do operador esperança. Vamos revisá-los com calma, pois a banca explora exatamente a confusão entre eles.

1. A distribuição geométrica e sua esperança

A variável aleatória geométrica modela o número de tentativas independentes até o primeiro sucesso, em que cada tentativa tem probabilidade de sucesso $p$. Sua função de probabilidade é $P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$, para $k = 1, 2, 3, \dots$.

O valor esperado (média) dessa distribuição é:

No caso do enunciado, $p = 1/3$, logo:

2. Linearidade da esperança

A esperança é um operador linear. Para quaisquer constantes $a$ e $b$ e variável aleatória $X$, vale:

No item, temos $Y = \frac{1}{5}X$, ou seja, $a = 1/5$ e $b = 0$. Portanto:

3. O erro do item

O item afirma que $E[1/5X] = 1/15$. Isso estaria correto se $E[X] = 1/3$, mas $1/3$ é o parâmetro $p$, não a esperança. A banca troca o parâmetro pela esperança: ela usa $E[X] = p$ (errado) em vez de $E[X] = 1/p$ (correto).

Veja a pegadinha:

• Se (erroneamente) $E[X] = 1/3$, então $E[Y] = (1/5) \times (1/3) = 1/15$ — exatamente o valor do item.

• Mas o correto é $E[X] = 1/(1/3) = 3$, então $E[Y] = (1/5) \times 3 = 3/5$.

Portanto, o item está errado.

Gabarito: letra E (ERRADO).