Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce167700

Probabilidade binomial em lançamentos de dado

Gabarito: letra E (ERRADO). A probabilidade de que o resultado não seja maior que 2 em exatamente duas das quatro tentativas é calculada pela distribuição binomial com $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ (faces 1 e 2) e $q = \frac{2}{3}$ , resultando em $P(X=2) = C_{4,2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 6 \cdot \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$ , que é diferente de $\frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$ . A afirmação do enunciado está incorreta.

A questão envolve o cálculo de probabilidade em um experimento com repetições independentes — o lançamento de um dado balanceado quatro vezes. Cada lançamento tem dois resultados possíveis de interesse: sair um número maior que 2 (faces 3, 4, 5, 6) ou não (faces 1, 2). Como a ordem dos lançamentos importa e as tentativas são independentes, o modelo adequado é a distribuição binomial, que dá a probabilidade de obter exatamente $k$ sucessos em $n$ tentativas.

A probabilidade de sucesso (não sair número maior que 2, ou seja, sair 1 ou 2) é $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ . A probabilidade de fracasso (sair número maior que 2) é $q = 1 - p = \frac{2}{3}$ . Com $n = 4$ lançamentos e querendo exatamente $k = 2$ sucessos, aplicamos a fórmula binomial:

P(X = k) = C_{n,k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}

Substituindo:

P(X = 2) = C_{4,2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{9} = 6 \cdot \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}

O valor apresentado no enunciado é $\frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$ . Comparando:

$\frac{8}{27} = \frac{24}{81}$
$\frac{16}{81} \neq \frac{24}{81}$

Portanto, a probabilidade correta é $\frac{8}{27}$ , e não $\frac{16}{81}$ . O erro do enunciado está em considerar a probabilidade de sucesso como $\frac{2}{3}$ (que seria a probabilidade de sair número maior que 2) em vez de $\frac{1}{3}$ , ou em não incluir o coeficiente binomial $C_{4,2}$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato ao apresentar $\frac{2^4}{3^4}$ como se fosse a probabilidade de obter sucesso em duas tentativas. Esse valor corresponderia a considerar $p = \frac{2}{3}$ (probabilidade de sair número maior que 2) e elevar à quarta potência, ignorando o coeficiente binomial e a necessidade de exatamente duas ocorrências. O candidato que não aplica a fórmula binomial corretamente cai na armadilha.

Alternativa E — ❌ Errada ⟵ GABARITO

A afirmação está errada. O cálculo correto da probabilidade de que o resultado não seja maior que 2 em exatamente duas das quatro tentativas é:

P(X = 2) = C_{4,2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}

O valor $\frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$ não corresponde a essa probabilidade. Ele seria obtido se considerássemos $p = \frac{2}{3}$ (probabilidade de sair número maior que 2) e calculássemos $P(\text{nenhum sucesso}) = \left(\frac{2}{3}\right)^4$ , ou se simplesmente elevássemos a probabilidade de sucesso à quarta potência sem o coeficiente binomial. Portanto, o item está incorreto.

Gabarito: letra E (ERRADO).

Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024

Probabilidade binomial em lançamentos de dado

Alternativa E — ❌ Errada ⟵ GABARITO