Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce167704

Transformação integral de probabilidade: exponencial → uniforme

Gabarito: letra C (CERTO). Se $X$ é exponencial com parâmetro unitário, sua função de distribuição acumulada é $F_X(x) = 1 - e^{-x}$ . A transformação $U = F_X(X) = 1 - e^{-X}$ mapeia $X$ no intervalo $[0,1]$ e, pelo teorema da transformação integral de probabilidade, $U$ segue distribuição uniforme em $[0,1]$ . A afirmação está correta.

O teorema da transformação integral de probabilidade é um resultado central em simulação e probabilidade: para qualquer variável aleatória contínua $X$ com função de distribuição acumulada $F_X$ , a variável $U = F_X(X)$ tem distribuição uniforme no intervalo $[0,1]$ . A intuição é que $F_X$ "achata" a distribuição original, transformando qualquer densidade contínua na densidade uniforme. A recíproca também é verdadeira e é a base da simulação: se $U \sim \text{Uniforme}(0,1)$ , então $X = F_X^{-1}(U)$ tem distribuição $F_X$ .

No caso específico, a exponencial com parâmetro unitário tem densidade $f(x) = e^{-x}$ para $x \geq 0$ e função de distribuição acumulada $F(x) = 1 - e^{-x}$ . Aplicando a transformação $U = 1 - e^{-X}$ , obtemos exatamente $U = F(X)$ , que é uniforme em $[0,1]$ .

A pegadinha da banca está em inverter o sentido da transformação: o candidato pode pensar que $U = 1 - e^{-X}$ "não é uniforme" por ser uma função não linear de $X$ , mas o teorema garante justamente o contrário — a função de distribuição acumulada de qualquer contínua, aplicada à própria variável, produz uma uniforme.

Caso	Transformação	Resultado
X ~ Exp(1), F(x) = 1 − e^(−x)	U = F(X) = 1 − e^(−X)	U ∈ [0,1]
Aplicar teorema da transformação integral	U = F_X(X) para X contínua	U ~ Uniforme(0,1)
Verificação direta: P(U ≤ u) = P(X ≤ −ln(1−u))	= F_X(−ln(1−u)) = 1 − e^(−(−ln(1−u)))	= u, logo U ~ Uniforme(0,1)

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. Para $X \sim \text{Exp}(1)$ , temos $F_X(x) = 1 - e^{-x}$ . Pelo teorema da transformação integral de probabilidade, $U = F_X(X) = 1 - e^{-X}$ tem distribuição uniforme no intervalo $[0,1]$ . A demonstração é direta: para $0 \leq u \leq 1$ ,

P(U \leq u) = P(1 - e^{-X} \leq u) = P(X \leq -\ln(1-u)) = F_X(-\ln(1-u)) = 1 - e^{-(-\ln(1-u))} = u.

Como $P(U \leq u) = u$ para todo $u \in [0,1]$ , $U$ é uniforme em $[0,1]$ .

PEGA ESSA DICA!

Sempre que a questão pedir para verificar se uma transformação de uma variável contínua é uniforme, verifique se a transformação é exatamente a função de distribuição acumulada $F_X(X)$ . Se for, o resultado é imediato pelo teorema da transformação integral. Esse teorema é a base da geração de números aleatórios a partir de qualquer distribuição contínua.

Gabarito: letra C (CERTO).

Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024

Transformação integral de probabilidade: exponencial → uniforme

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO