Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — CESPE / CEBRASPE 2024

Desvio padrão amostral e esperança matemática

Gabarito: letra E (ERRADO). O desvio padrão amostral $S_n$ é um estimador viesado do desvio padrão populacional $σ$: sua esperança matemática é menor que $σ$, ou seja, $E(S_n) < σ$, para qualquer tamanho de amostra finito. Portanto, a afirmação de que $E(S_{100}) = σ$ é falsa. Essa é uma propriedade clássica da estatística inferencial, relacionada à distribuição amostral da variância e do desvio padrão.

O desvio padrão amostral é definido como a raiz quadrada da variância amostral: $S_n = \sqrt{S_n^2}$, onde $S_n^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$. A variância amostral $S_n^2$ é um estimador não viesado de $σ^2$, pois $E(S_n^2) = σ^2$. No entanto, a raiz quadrada é uma função côncava, e pela desigualdade de Jensen, $E(\sqrt{S_n^2}) \leq \sqrt{E(S_n^2)} = \sqrt{σ^2} = σ$. A desigualdade é estrita (a menos que a variância seja zero), pois a raiz quadrada não é uma função linear. Assim, $E(S_n) < σ$ para qualquer $n$ finito.

Essa é uma pegadinha clássica: a banca tenta confundir o candidato fazendo-o pensar que, como a variância amostral é não viesada, o desvio padrão amostral também seria. Mas a não viés não se preserva sob transformações não lineares. O viés do desvio padrão amostral é positivo (subestima o desvio padrão populacional) e tende a zero quando $n \to \infty$, mas para $n = 100$ ainda é diferente de zero.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $E(S_{100}) = σ$. Isso é falso, pois o desvio padrão amostral é um estimador viesado, com $E(S_n) < σ$ para todo $n$ finito. A igualdade só valeria no limite assintótico ($n \to \infty$), mas nunca exatamente para $n = 100$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A afirmação é errada, pois a esperança do desvio padrão amostral não é igual ao desvio padrão populacional. O viés é positivo (subestima $σ$) e, embora diminua com o aumento de $n$, não se anula para $n = 100$. Portanto, o item está ERRADO.

Gabarito: letra E (ERRADO).