Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce168246

Lei Fraca dos Grandes Números e a convergência do desvio padrão amostral

Gabarito: letra C (CERTO). Para uma amostra aleatória simples de uma população normal padrão, o desvio padrão amostral $S_n$ converge em probabilidade para o desvio padrão populacional, que é 1, quando $n \to +\infty$ . Isso decorre diretamente da Lei Fraca dos Grandes Números aplicada à variância amostral, combinada com a continuidade da função raiz quadrada.

A Lei Fraca dos Grandes Números (LFGN) é um dos resultados mais fundamentais da estatística. Ela estabelece que a média amostral de uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) converge em probabilidade para a média populacional (o valor esperado) quando o tamanho da amostra tende ao infinito. Em notação, se $X_1, X_2, \dots, X_n$ são i.i.d. com $E[X_i] = \mu$ , então $\bar{X}_n \xrightarrow{p} \mu$ .

A questão, porém, não trata da média, mas do desvio padrão amostral $S_n$ . Para conectar a LFGN a $S_n$ , precisamos pensar na variância amostral $S_n^2$ . A variância amostral é definida como:

S_n^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X}_n)^2

Podemos reescrever essa expressão de uma forma que nos ajuda a aplicar a LFGN. Uma identidade útil é:

S_n^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - n \bar{X}_n^2 \right)

Agora, observe que $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2$ é a média amostral dos quadrados. Pela LFGN, essa média converge em probabilidade para $E[X^2]$ . Da mesma forma, $\bar{X}_n$ converge em probabilidade para $E[X] = \mu$ . Portanto, podemos analisar o limite de $S_n^2$ .

Para uma população normal padrão, temos $\mu = 0$ e $\sigma^2 = 1$ . Assim, $E[X^2] = \sigma^2 + \mu^2 = 1 + 0 = 1$ . Aplicando a LFGN e o fato de que funções contínuas preservam convergência em probabilidade (Teorema de Slutsky), obtemos:

S_n^2 \xrightarrow{p} E[X^2] - (E[X])^2 = 1 - 0 = 1

Ou seja, a variância amostral converge em probabilidade para a variância populacional, que é 1. Como a função raiz quadrada é contínua, segue que:

S_n = \sqrt{S_n^2} \xrightarrow{p} \sqrt{1} = 1

Portanto, o desvio padrão amostral converge em probabilidade para 1, exatamente como afirma o enunciado.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de convergência, lembre-se de que a LFGN se aplica a médias amostrais. Para transformar o problema em algo que use a LFGN, procure expressar o estimador como uma função de médias amostrais (como fizemos com a variância). E lembre-se: funções contínuas preservam convergência em probabilidade.

Gabarito: letra C (CERTO).

Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024

Lei Fraca dos Grandes Números e a convergência do desvio padrão amostral